Isomorphie und ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mi 29.04.2009 | | Autor: | n8Mare |
| Aufgabe | 2.)
Sei K ein Körper und k [mm] \in [/mm] K. Zeigen Sie:
a.)
Ist U ein Untervektorraum des K-Vektorraumes K[x] und gilt xf [mm] \in [/mm] U für alle f [mm] \in [/mm] U, so ist U ein Ideal des Ringes K[x].
b.)
Die Menge [mm] I_k [/mm] = {f [mm] \in [/mm] K[x] | f(k) = 0} ist ein Ideal von K[x].
c.)
Der Quotientenring K[x]/(x -k) ist ein zu K isomorpher Körper.
d.)
Es gilt [mm] I_k [/mm] = (x -k). |
Hallo,
Habe gerade Algebra und noch einige Verstaendnissprobleme
ich fang mal an
zu a.)
ein Ideal benötigt 3 Kriterien nämlich das es nicht leer ist und es additiv & multiplikativ abgeschlossen ist.
los gehts...
Wenn U ein Untervektorraum von K[x] ist so gilt:
( U [mm] \not= \emptyset \wedge [/mm] ( [mm] \forall [/mm] u,f [mm] \in [/mm] U (u + f) [mm] \in [/mm] U) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \forall [/mm] u,f [mm] \in [/mm] U(u - f) [mm] \in [/mm] U) denn (U,+,-) ist ein Untergruppe von (K[x],+,-). Soviel zur additiven Abgeschlossenheit.
Ferner ist U multiplikativ abgeschlossen da [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] K[x], [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] U (xf [mm] \in [/mm] U) gilt (gegeben und durch Untergruppe).
Wenn ich mich nicht irre reicht das bereits.
zu b.)
[mm] I_k [/mm] = {f [mm] \in [/mm] K[x] | f(k) = 0}
[mm] \Rightarrow I_k [/mm] = {0}. Ich hoffe dass das so stimmt.
[mm] \Rightarrow I_k \not= \emptyset
[/mm]
[mm] \wedge [/mm]
( [mm] \forall [/mm] u,f [mm] \in [/mm] U ((u + f) [mm] \in [/mm] U) [mm] \wedge [/mm] (u - f) [mm] \in [/mm] U)
denn u = 0 [mm] \wedge [/mm] f = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 -0 = 0 + 0 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] additive Abgeschlossenheit
[mm] \wedge [/mm]
( [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U, [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] K[x] ((uf) [mm] \in [/mm] U))
denn u = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0*f = f*0 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] multiplikative Abgeschlossenheit
[mm] \Rightarrow I_k [/mm] ist ein Ideal von K[x]
geht das so?
c.)
für Isomorphie muessen Bijektivität und Homomorphie der einfachen und der invertierten Funktion gewaehrleistet sein. wie ich das allerdings mache ist mir noch ein Raetsel. Ist (x -k) die funktion für die ich die Kriterien zeigen muss?
Gruß
n8Mare
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:36 Do 30.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 2.)
> Sei K ein Körper und k [mm]\in[/mm] K. Zeigen Sie:
>
> a.)
> Ist U ein Untervektorraum des K-Vektorraumes K[x] und gilt
> xf [mm]\in[/mm] U für alle f [mm]\in[/mm] U, so ist U ein Ideal des Ringes
> K[x].
> b.)
> Die Menge [mm]I_k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K[x] | f(k) = 0} ist ein Ideal von
> K[x].
> c.)
> Der Quotientenring K[x]/(x -k) ist ein zu K isomorpher
> Körper.
> d.)
> Es gilt [mm]I_k[/mm] = (x -k).
>
> Hallo,
> Habe gerade Algebra und noch einige Verstaendnissprobleme
> ich fang mal an
> zu a.)
> ein Ideal benötigt 3 Kriterien nämlich das es nicht leer
> ist und es additiv & multiplikativ abgeschlossen ist.
> los gehts...
Genau.
> Wenn U ein Untervektorraum von K[x] ist so gilt:
> ( U [mm]\not= \emptyset \wedge[/mm] ( [mm]\forall[/mm] u,f [mm]\in[/mm] U (u + f)
> [mm]\in[/mm] U) [mm]\wedge[/mm] ( [mm]\forall[/mm] u,f [mm]\in[/mm] U(u - f) [mm]\in[/mm] U) denn
> (U,+,-) ist ein Untergruppe von (K[x],+,-). Soviel zur
> additiven Abgeschlossenheit.
Genau.
> Ferner ist U multiplikativ abgeschlossen da [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm]
> K[x], [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] U (xf [mm]\in[/mm] U) gilt (gegeben und durch
> Untergruppe).
Mit Untergruppe hat das nix zu tun, aber gegeben ist es.
> Wenn ich mich nicht irre reicht das bereits.
Ja.
> zu b.)
> [mm]I_k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K[x] | f(k) = 0}
> [mm]\Rightarrow I_k[/mm] = {0}. Ich hoffe dass das so stimmt.
Nein. Vielleicht meinst du [mm] $\{ 0 \} \subseteq I_k$? [/mm] Denn das Polynom $x - k$ liegt eindeutig in [mm] $I_k$, [/mm] und es ist nicht das Nullpolynom.
> [mm]\Rightarrow I_k \not= \emptyset[/mm]
> [mm]\wedge[/mm]
Lass doch bitte das [mm] $\wedge$ [/mm] da weg. Eine einfache Leerzeile reicht :)
> ( [mm]\forall[/mm] u,f [mm]\in[/mm] U ((u + f) [mm]\in[/mm] U) [mm]\wedge[/mm] (u - f) [mm]\in[/mm] U)
> denn u = 0 [mm]\wedge[/mm] f = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 -0 = 0 + 0 = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] additive Abgeschlossenheit
Nein, das stimmt nicht (siehe oben, [mm] $I_k$ [/mm] hat noch mehr Elemente).
> [mm]\wedge[/mm]
> ( [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U, [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] K[x] ((uf) [mm]\in[/mm] U))
> denn u = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0*f = f*0 = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] multiplikative Abgeschlossenheit
Das stimmt ebensowenig.
> [mm]\Rightarrow I_k[/mm] ist ein Ideal von K[x]
> geht das so?
>
> c.)
> für Isomorphie muessen Bijektivität und Homomorphie der
> einfachen und der invertierten Funktion gewaehrleistet
> sein. wie ich das allerdings mache ist mir noch ein
> Raetsel. Ist (x -k) die funktion für die ich die Kriterien
> zeigen muss?
Nein, $x - k$ erzeugt ein Ideal, und $K[x]$ modulo diesem Ideal soll isomorph zu $K$ sein.
Hier ist es am geschicktesten, den Homomorphiesatz zu bemuehen.
Betrachte doch z.B. den Einsetzungshomomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : K[x] [mm] \to [/mm] K$, $f [mm] \mapsto [/mm] f(k)$. Was weisst du ueber diesen?
LG Felix
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