Isomorphie der symmetrischen G < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Sa 31.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wie zeige ich, dass [mm] S_{\mathbb{F}_2^2\setminus\{0\}} \cong S_3 [/mm] ?
wobei [mm] \mathbb{F}=\{0,1\} [/mm] den Körper mit zwei Elementen bezeichnet und dementsprechend [mm] \mathbb{F}_2^2\setminus\{0\}=\{(0,1),(1,0),(1,1)\} [/mm] |
Hallo,
Da [mm] |\mathbb{F}_2^2\setminus\{0\}|=3 [/mm] folgt [mm] |S_{\mathbb{F}_2^2\setminus\{0\}}|=6=|S_3|
[/mm]
Wenn ich die Elemente miteinander identifiziere:
[mm] \phi: \mathbb{F}_2^2\setminus\{0\} \to \{1,2,3\}
[/mm]
(0,1) [mm] \mapsto [/mm] 1
(1,0) [mm] \mapsto [/mm] 2
(1,1) [mm] \mapsto [/mm] 3
ist mir die Isomorphie "praktisch" auch klar.
Aber wie sieht ein Beweis dazu aus? Gibt es einen Satz der mir da hilft?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:39 Sa 31.10.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wie zeige ich, dass [mm]S_{\mathbb{F}_2^2\setminus\{0\}} \cong S_3[/mm]
> ?
> wobei [mm]\mathbb{F}=\{0,1\}[/mm] den Körper mit zwei Elementen
> bezeichnet und dementsprechend
> [mm]\mathbb{F}_2^2\setminus\{0\}=\{(0,1),(1,0),(1,1)\}[/mm]
> Hallo,
> Da [mm]|\mathbb{F}_2^2\setminus\{0\}|=3[/mm] folgt
> [mm]|S_{\mathbb{F}_2^2\setminus\{0\}}|=6=|S_3|[/mm]
>
> Wenn ich die Elemente miteinander identifiziere:
> [mm]\phi: \mathbb{F}_2^2\setminus\{0\} \to \{1,2,3\}[/mm]
> (0,1)
> [mm]\mapsto[/mm] 1
> (1,0) [mm]\mapsto[/mm] 2
> (1,1) [mm]\mapsto[/mm] 3
> ist mir die Isomorphie "praktisch" auch klar.
>
> Aber wie sieht ein Beweis dazu aus? Gibt es einen Satz der
> mir da hilft?
Für eine (endliche) Menge M ist mit [mm] S_{M} [/mm] die Symmetriegruppe der Elemente von M gemeint, also genauer die Menge der bijektiven Abbildungen M [mm] \to [/mm] M mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung. Jetzt hast du schon festgestellt, daß deine beiden Mengen gleichmächtig sind. Dann induzert jede Bijektion [mm] \alpha [/mm] zwischen den beiden Mengen eine Isomorphie [mm] \alpha\pi \alpha^{-1} [/mm] zwischen den Symmetriegruppen.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Sa 31.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für die Antwort!
LG,
sissi
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