Isomorphie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mi 09.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich habe eine Frage, für die ich mich fast schäme.
Man zeige: [mm] \IZ_2\cong S_2\cong C_2. [/mm] |
[mm] \IZ_2=\{0,1\}
[/mm]
[mm] C_2=\{x^0=e,x^1\}
[/mm]
[mm] S_2=\{id,\pi\}, [/mm] wobei id: [mm] 1\mapsto [/mm] 1, [mm] 2\mapsto [/mm] 2 und [mm] \pi: 1\mapsto [/mm] 2, [mm] 2\mapsto [/mm] 1
Alle diese drei Mengen haben jeweils 2 Elemente.
Meine Idee ist, dass die Isomorphie deswegen gilt, weil man aufgrund der gleichen Anzahl der Elemente bijektive Abbildungen definieren kann.
Zum Beispiel:
[mm] \phi: \IZ_2\to S_2, 0\mapsto [/mm] id, [mm] 1\mapsto \pi
[/mm]
Ist das korrekt gedacht?
Ich hatte mir zuerst überlegt, wie man Injektivität und Surjektivität zeigen könnte, aber bin darüber nicht weiter gekommen. Dann bin ich halt darauf gekommen, dass es was mit der gleichen Anzahl der Elemente zu tun hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mi 09.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe eine Frage, für die ich mich fast schäme.
>
> Man zeige: [mm]\IZ_2\cong S_2\cong C_2.[/mm]
> [mm]\IZ_2=\{0,1\}[/mm]
> [mm]C_2=\{x^0=e,x^1\}[/mm]
> [mm]S_2=\{id,\pi\},[/mm] wobei id: [mm]1\mapsto[/mm] 1, [mm]2\mapsto[/mm] 2 und [mm]\pi: 1\mapsto[/mm]
> 2, [mm]2\mapsto[/mm] 1
>
> Alle diese drei Mengen haben jeweils 2 Elemente.
Genau, das reicht auch schon aus.
Es gibt also neben dem neutralen Element noch ein Element $g$ von Ordnung $> 1$. Da die Ordnung die Gruppenordnung, also 2, teilt, muss sie gleich 2 sein. Damit ist $G = [mm] \{ 1, g \}$ [/mm] mit [mm] $g^2 [/mm] = 1$. Man sieht also sofort, dass die Abbildung $G [mm] \to C_2$, [/mm] $1 [mm] \mapsto [/mm] e$, $g [mm] \mapsto [/mm] x$ ein Isomorphismus ist.
Damit sind alle oben genannten Gruppen isomorph zu [mm] $C_2$.
[/mm]
> Meine Idee ist, dass die Isomorphie deswegen gilt, weil man
> aufgrund der gleichen Anzahl der Elemente bijektive
> Abbildungen definieren kann.
Das reicht nicht. [mm] $C_2 \times C_2$ [/mm] und [mm] $C_4$ [/mm] haben gleich viele Elemente, sind jedoch nicht isomorph.
> Zum Beispiel:
>
> [mm]\phi: \IZ_2\to S_2, 0\mapsto[/mm] id, [mm]1\mapsto \pi[/mm]
Das ist ein Isomorphismus.
> Ich hatte mir zuerst überlegt, wie man Injektivität und
> Surjektivität zeigen könnte, aber bin darüber nicht
> weiter gekommen.
Na, das sieht man hier doch. Da braucht man hier nichts zu zeigen.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:40 Mi 09.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das Hauptargument ist also, dass die Ordnung eines Elements einer Gruppe die Gruppenordnung teilen muss?
Ich nehme nochmal die Gruppe [mm] S_2 [/mm] her.
Diese hat ja zwei Elemente, wegen [mm] |S_2|=2!=2, [/mm] nämlich (wie oben beschrieben) die Identität und noch eine andere bijekte Abbildung, die ich [mm] \pi [/mm] genannt habe.
Teiler der Gruppenordnung sind nun 2 und 1.
Die identische Abbildung hat Ordnung 1, [mm] \pi [/mm] hat Ordnung 2 und damit hat man alle Elemente und man hat einen Isomorphismus von [mm] C_2 [/mm] nach [mm] S_2 [/mm] gegeben durch [mm] e\mapsto [/mm] id, [mm] x\mapsto \pi.
[/mm]
[Könnte man jetzt auch den Isomorphismus einfach durch [mm] e\mapsto \pi, x\mapsto [/mm] id definieren?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:55 Mi 09.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich glaube, ich kann mirs selbst beantworten, nämlich wäre das möglich.
Es geht ja nur darum, dass man eine echte Paarbildung hinbekommt, bei der jeder Wert der Zielmenge angenommen wird und nur einmalig angenommen wird.
Wie die Zuordnung hier genau definiert wird, ist darum egal.
EDIT:
Das ist natürlich falsch gewesen, da ein Isomorphismus die Einselemente aufeinander abbilden muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 11.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 11.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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