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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:35 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Docy |
Hallo alle zusammen,
ich würde gerne wissen, welchen Unterschied gibt es, wenn man sagt, dass eine Menge, sagen wir mal M isomorph zu [mm] \IZ_{8} [/mm] ist, oder wenn die Menge M isomorph zu [mm] \IZ_{4}\times\IZ_{2} [/mm] ist?
Ich verstehe das nicht so ganz.
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Mo 19.01.2009 | | Autor: | statler |
Hi docy!
> ich würde gerne wissen, welchen Unterschied gibt es, wenn
> man sagt, dass eine Menge, sagen wir mal M isomorph zu
> [mm]\IZ_{8}[/mm] ist, oder wenn die Menge M isomorph zu
> [mm]\IZ_{4}\times\IZ_{2}[/mm] ist?
> Ich verstehe das nicht so ganz.
Isomorphe Abbildungen sind bijektiv und strukturerhaltend, also müssen Definitions- und Wertebereich die gleiche Struktur haben. Wenn M nur eine Menge ist, hat es keine zusätzliche Struktur, Isomorphismen zwischen Mengen sind einfach bijektive Abbildungen. Als Mengen sind deine 3 Gebilde oben isomorph, weil sie alle 8 Elemente haben. Aber [mm] \IZ_{8} [/mm] und [mm] \IZ_{4}\times\IZ_{2} [/mm] sind auch Gruppen, und als solche sind die beiden nicht isomorph. Die eine ist nämlich zyklisch, und die andere nicht.
Ich kann - wenn ich eine bijektive Abb. [mm] \phi [/mm] von M nach [mm] \IZ_{8} [/mm] habe - M zu einer Gruppe machen, indem ich die Verknüpfung in M über [mm] \phi [/mm] definiere:
[mm] m_1 \* m_2 [/mm] := [mm] \phi^{-1}(\phi(m_1)\*\phi(m_2)). [/mm] Dadurch wird [mm] \phi [/mm] zu einem Gruppenisomorphismus.
Ganz grob könnte man sagen: Isomorphe Gruppen sind gleich, die Elemente haben nur andere Namen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Docy |
Alles klar, vielen Dank Dieter
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