Isomorphe Einbettung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mi 11.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hallo.
Ich habe einen Beweis der folgendes fordert:
Zeigen Sie, dass jede endliche Halbordnung M isomorph einbettbar in (P(M), [mm] \subseteq) [/mm] ist.
Also ich habe mir da folgendes gedacht:
Erstmal muss es eine Menge A [mm] \subseteq [/mm] P(M) geben die die gleiche Anzahl an Elementen hat wie M, also card(A) = card(M).
Dann kann man schonmal eine bijektive Abbildung konstruieren, hier mal wieder h: M [mm] \to [/mm] A.
Dann würde ich den Beweis auf die Untersuchung der Eigenschaften eines Isomorphismus setzen, also
1) gibt es eine bij. Abb h: M [mm] \to [/mm] A ?
2) a [mm] \le [/mm] b [mm] \gdw [/mm] h(a) [mm] \le [/mm] h(b) (X [mm] \subseteq [/mm] Y)
3) (i) h(a [mm] \wedge [/mm] b) = h(a) [mm] \wedge [/mm] h(b) = X [mm] \cap [/mm] Y
(ii) h(a [mm] \vee [/mm] b) = h(a) [mm] \vee [/mm] h(b) = X [mm] \cup [/mm] Y.
1. wäre ja dann schon erfüllt, da card(M) = card(A).
2. Es gilt also a [mm] \le [/mm] b. da a, b auf A abgebildet werden, müsste also auch h(a) [mm] \le [/mm] h(b) gelten, d.h. X [mm] \subseteq [/mm] Y. Jetzt weiß ich leider nicht weiter :(
3. Hier weiß ich leider auch nicht wie ich das zeigen soll. Es sind zwar beide HOen endlich, aber es heißt ja nicht das für alle Elem. aus M inf, sup ex. ?
Wie sollte ich denn hier am besten vorgehen um letztendlich da zu zeigen was gefordert ist, ich bekomme das leider nicht hin ? Oder muss ich gar ganz anders vorgehen ?
Mfg
[mm] dump_0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Ich habe mir mal Gedanken dazu gemacht, und mir erscheint folgende Konstruktion vielversprechend:
Sei [mm] $a\in [/mm] M$ beliebig gewählt. Ein [mm] $b\in [/mm] M$ (nicht notwendig von $a$ verschieden) liegt dann genau dann in $h(a)$, wenn [mm] $b\leq [/mm] a$.
Du kannst die so definierte Abbildung ja einmal untersuchen. Auf den ersten Blick sieht sie vielsprechend aus, der Beweis dafür, dass sie ein "Isomorphismus" ist, benötigt auch alle Eigenschaften der Halbordnung.
Liebe Grüße,
Hanno
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