Isometrien auf Hilberträumen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sei [mm]H[/mm] ein Hilbert-Raum. Man zeige, dass die Gruppe der linearen isometrischen Isomorphismen transitiv auf der Einheitssphäre [mm]S_H=\{h \in H \mid ||h||=1\}[/mm] operiert, d.h. zu je zwei Punkten auf der Sphäre gibt es einen isometrischen Isomorphismus, der den einen auf den anderen abbildet. |
Hallo!
Ich sitze jetzt vor dieser Aufgabe und hab so recht keinen Plan. Ich habe zunächst mal die Unterteilung gemacht, dass die beiden Punkte linear abhängig bzw. linear unabhängig sind. Angeblich (Tipp vom Übungsleiter) sollen die Isomorphismen ganz einfach sein, doch schon für den linear abhängigen Fall kriege ich das nicht wirklich auf die Kette.
Meine Idee war, eine Basis zu wählen (gibts es ja auch im unendlich-dimensionalen) und dann auf dieser Basis eine Isometrie zu erklären. Geht das überhaupt so? Und wenn ja, wie weißt man die Isometrie nach? Die Dreiecksungleichung ist ja für exakte Rechnungen wenig hilfreich...
Danke schonmal im Voraus,
MetalChuck
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Es sei [mm]H[/mm] ein Hilbert-Raum. Man zeige, dass die Gruppe der
> linearen isometrischen Isomorphismen transitiv auf der
> Einheitssphäre [mm]S_H=\{h \in H \mid ||h||=1\}[/mm] operiert, d.h.
> zu je zwei Punkten auf der Sphäre gibt es einen
> isometrischen Isomorphismus, der den einen auf den anderen
> abbildet.
> Hallo!
>
> Ich sitze jetzt vor dieser Aufgabe und hab so recht keinen
> Plan. Ich habe zunächst mal die Unterteilung gemacht, dass
> die beiden Punkte linear abhängig bzw. linear unabhängig
> sind. Angeblich (Tipp vom Übungsleiter) sollen die
> Isomorphismen ganz einfach sein,
Seien [mm] $P_{1,2}$ [/mm] die beiden Punkte. Ich würde versuchen, den einen Punkt durch Spiegelung an der Normalebene [mm] $\vec{P_1P}_2^{\perp}$ [/mm] (d.h. dem orthogonalen Komplement) von [mm] $\vec{P_1P}_2$ [/mm] in den anderen Punkt abzubilden. Jeder Vektor des Hilbertraumes lässt sich eindeutig in eine Komponente parallel zu [mm] $\vec{P_1P}_2$ [/mm] und eine Komponente parallel zu [mm] $\vec{P_1P}_2^{\perp}$ [/mm] zerlegen: in dieser Zerlegung lässt sich die fragliche Spiegelung an [mm] $\vec{P_1P}_2^{\perp}$, [/mm] die [mm] $P_1$ [/mm] in [mm] $P_2$ [/mm] überführt (und umgekehrt), leicht angeben. Zu zeigen wäre dann, dass es sich um eine Isometrie handelt.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke erstmal für die Tipps, ich hatte gestern keine Zeit mehr daran zu arbeiten. Ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
Seien [mm]p_1,p_2 \in S_H[/mm] die beiden Punkte. Dann definiere ich [mm]V := Span(p_2-p_1)[/mm]. Dies ist ein Unterraum und es gilt [mm]H = V \oplus V^\perp[/mm]. Damit definiere ich mir jetzt eine Funktion [mm]\varphi(p) = p_{V^\perp} - p_V,[/mm] wobei jeweils die eindeutige Zerlegung [mm]p = p_V + p_{V^\perp}[/mm] mit [mm]p_V \in V[/mm] und [mm]p_{V^\perp} \in V^\perp[/mm] gemeint ist.
Ich konnte zeigen, dass dies eine Isometrie ist, aber ich habe Schwierigkeiten beim Nachweis, dass diese Funktion tatsächlich die gewünschte Transitivität erfüllt, d.h. dass [mm]\varphi(p_1) = p_2[/mm] und [mm]\varphi(p_2) = p_1[/mm] gilt.
Meine Frage daher: Ist die von mir definierte Funktion überhaupt richtig in dem Sinne, dass sie das geforderte tut und wenn ja, wie zeige ich diese Transitivität?
Danke schonmal,
MetalChuck
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> Danke erstmal für die Tipps, ich hatte gestern keine Zeit
> mehr daran zu arbeiten. Ich habe mir jetzt folgendes
> überlegt:
>
> Seien [mm]p_1,p_2 \in S_H[/mm] die beiden Punkte. Dann definiere ich
> [mm]V := Span(p_2-p_1)[/mm]. Dies ist ein Unterraum und es gilt [mm]H = V \oplus V^\perp[/mm].
> Damit definiere ich mir jetzt eine Funktion [mm]\varphi(p) = p_{V^\perp} - p_V,[/mm]
> wobei jeweils die eindeutige Zerlegung [mm]p = p_V + p_{V^\perp}[/mm]
> mit [mm]p_V \in V[/mm] und [mm]p_{V^\perp} \in V^\perp[/mm] gemeint ist.
>
> Ich konnte zeigen, dass dies eine Isometrie ist, aber ich
> habe Schwierigkeiten beim Nachweis, dass diese Funktion
> tatsächlich die gewünschte Transitivität erfüllt, d.h. dass
> [mm]\varphi(p_1) = p_2[/mm] und [mm]\varphi(p_2) = p_1[/mm] gilt.
>
> Meine Frage daher: Ist die von mir definierte Funktion
> überhaupt richtig in dem Sinne, dass sie das geforderte tut
Ich denke schon.
> und wenn ja, wie zeige ich diese Transitivität?
[mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] kann man doch in zu [mm] $\red{V}$ [/mm] bzw. zu [mm] $\blue{V^\perp}$ [/mm] parallele Komponenten zerlegen: [mm] $p_1=\blue{\big(p_1+\frac{p_2-p_1}{2}\big)}+\big(\red{-\frac{p_2-p_1}{2}}\big)$ [/mm] und [mm] $p_2=\blue{\big(p_2-\frac{p_2-p_1}{2}\big)}+\red{\frac{p_2-p_1}{2}}$.
[/mm]
Wenn es Dir gelingt, die Richtigkeit dieser Zerlegungen zu beweisen, dann kannst Du doch sicher leicht zeigen, dass [mm] $\varphi(p_1)=p_2$. [/mm] Denn es ist doch
[mm]\varphi(p_1)=\blue{\big(p_1+\frac{p_2-p_1}{2}\big)}-\big(\red{-\frac{p_2-p_1}{2}}\big)=p_2-p_1+p_1=p_2[/mm]
Aber ist die obige Zerlegung von [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] richtig? - Dass die rot markierte Komponente parallel zu $V$ ist, ist trivial. Dass die blau markierte Komponente parallel zu [mm] $V^\perp$ [/mm] ist, könnte man z.B. zu beweisen versuchen, indem man zeigt, dass das Skalarprodukt von [mm] $p_1-\big(\red{-\frac{p_1-p_2}{2}}\big)$ [/mm] bzw. von [mm] $p_2-\red{\frac{p_2-p_1}{2}}$ [/mm] mit [mm] $p_2-p_1$ [/mm] gleich $0$ ist. Dabei wirst Du benutzen müssen, dass [mm] $p_1,p_2\in S_H$ [/mm] sind.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ja super, danke schonmal wieder  Ich habe das jetzt mit der Parallelität zu [mm]V^\perp[/mm] mal nachgerechnet:
[mm]\langle p_1 + \frac{p_2-p_1}{2}, p_2-p_1 \rangle = \langle \frac{p_1+p_2}{2},p_2-p_1 \rangle = \frac{1}{2} \langle p_1+p_2,p_2-p_1 \rangle = \frac{1}{2} \left( \langle p_1,p_2 \rangle - ||p_1|| + ||p_2|| - \langle p_2,p_1 \rangle \right) = \frac{1}{2} \left( \langle p_1,p_2 \rangle - \langle p_2,p_1 \rangle \right)[/mm] Ist [mm]H[/mm] ein reeller Hilbertraum, bin ich fertig, denn dann ist das Skalarprodukt ja symmetrisch. Was aber mache ich im komplexen Fall? Da muss ich ja
[mm]\frac{1}{2} \left( \langle p_1,p_2 \rangle - \langle p_2,p_1 \rangle \right) = \frac{1}{2} \left( \langle p_1,p_2 \rangle - \overline{\langle p_1,p_2 \rangle} \right) = i \cdot \Im \langle p_1,p_2 \rangle = 0[/mm]
zeigen ([mm]\Im[/mm] = Imaginärteil). Wie stelle ich das denn an?
Danke schonmal wieder,
MetalChuck
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> Ja super, danke schonmal wieder Ich habe das jetzt mit
> der Parallelität zu [mm]V^\perp[/mm] mal nachgerechnet:
> [mm]\langle p_1 + \frac{p_2-p_1}{2}, p_2-p_1 \rangle = \langle \frac{p_1+p_2}{2},p_2-p_1 \rangle = \frac{1}{2} \langle p_1+p_2,p_2-p_1 \rangle = \frac{1}{2} \left( \langle p_1,p_2 \rangle - ||p_1|| + ||p_2|| - \langle p_2,p_1 \rangle \right) = \frac{1}{2} \left( \langle p_1,p_2 \rangle - \langle p_2,p_1 \rangle \right)[/mm]
> Ist [mm]H[/mm] ein reeller Hilbertraum, bin ich fertig, denn dann
> ist das Skalarprodukt ja symmetrisch.
Dieses Ergebnis hatte ich erwartet...
> Was aber mache ich im
> komplexen Fall?
.. an den komplexen Fall hatte ich, offen gesagt, nicht gedacht...
> Da muss ich ja
> [mm]\frac{1}{2} \left( \langle p_1,p_2 \rangle - \langle p_2,p_1 \rangle \right) = \frac{1}{2} \left( \langle p_1,p_2 \rangle - \overline{\langle p_1,p_2 \rangle} \right) = i \cdot \Im \langle p_1,p_2 \rangle = 0[/mm]
>
> zeigen ([mm]\Im[/mm] = Imaginärteil). Wie stelle ich das denn an?
Tja, traurig! - Denn dies kann doch wohl für allgemeines [mm] $p_1,p_2\in S_H$ [/mm] gar nicht gelten (also können wir es auch nicht beweisen).
Ich frage mich nun, ob wir nicht besser daran täten, die Zerlegung von [mm] $p_1$ [/mm] in zu [mm] $V^\perp$ [/mm] und $V$ parallele Komponenten mittels Skalarprodukt vorzunehmen. Intuitiv müsste doch [mm] $\frac{\langle p_1|p_2-p_1\rangle}{\parallel p_2-p_1\parallel}(p_2-p_1)$ [/mm] die Komponente von [mm] $p_1$ [/mm] parallel zu $V$ und daher [mm] $p_1-\frac{\langle p_1|p_2-p_1\rangle}{\parallel p_2-p_1\parallel}(p_2-p_1)$ [/mm] die Komponente von [mm] $p_1$ [/mm] parallel zu [mm] $V^\perp$ [/mm] sein, nicht? (Möglicherweise muss man hier noch vorsichtig sein, welchen Vektor man auf welcher Seite des komplexen Skalarproduktes einsetzt.) Vielleicht musst Du, um den komplexen Fall auch zeigen zu können, über diese abstraktere Zerlegung von [mm] $p_1$ [/mm] bzw. [mm] $p_2$ [/mm] gehen: der reelle Fall ergibt sich dann natürlich so nebenbei. - Etwas Gescheiteres als diese Vermutung (bzw. Hoffnung) fällt mir im Moment nicht gerade ein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mi 09.01.2008 | | Autor: | metalchuck |
Hallo!
Ich habe das jetzt mal nachgerechnet, die intuitive Vermutung stimmt. Jetzt ist allerdings die Aussage [mm]\varphi(p_1) = p_2[/mm] bzw. umgekehrt nicht mehr so trivial... Dazu vielleicht noch ne Idee?
Danke schonmal,
MetalChuck
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:54 Do 10.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo!
>
> Ich habe das jetzt mal nachgerechnet, die intuitive
> Vermutung stimmt. Jetzt ist allerdings die Aussage
> [mm]\varphi(p_1) = p_2[/mm] bzw. umgekehrt nicht mehr so trivial...
> Dazu vielleicht noch ne Idee?
Wie schon beim ersten Weg, der für den reellen Fall durch ging, muss man hier verwenden können, dass [mm] $p_1, p_2\in S_H$ [/mm] sind, also dieselbe Norm besitzen (andernfalls ist ja die zu beweisende Behauptung gar nicht wahr).
Vielleicht kann man also zeigen, dass [mm] $\parallel p_2-\varphi(p_1)\parallel=0$ [/mm] ist, indem man das Quadrat dieser Norm mit Hilfe des Skalarproduktes ausdrückt, beim Vereinfachen dieses Skalarproduktes könnte dann entsprechend wiederum die Beziehung [mm] $\parallel p_1\parallel [/mm] = [mm] \parallel p_2\parallel [/mm] = 1$ nützlich sein.
|
|
|
|
