Iso zwischen Galoisgruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 30.01.2008 | | Autor: | c.t. |
| Aufgabe | 1. Seien L/K und L´/K zwei endliche Galoiserweiterungen mit isomorpher Galoisgruppe. Sind dann L und L´ bereits isomorph?
2. Gibt es eine Galoiserweiterung [mm] L/\IQ [/mm] mit [mm] Gal(L/\IQ) \cong \IZ/2 [/mm] x [mm] \IZ/4 [/mm] ? |
Hallo, ich brauche bitte dringend Hilfe, weil es hier um meine Klausurzulassung geht.
Zu 1.: "mit isomorpher Galoisgruppe" meint doch, dass die Galoisgruppen der beiden Galoiserweiterungen zueinander isomorph sind, oder?
Das heißt dann also, dass, auch wegen der Endlichkeit der ERweiterung, die Galoisgruppen gleichviele Automorphismen L [mm] \to [/mm] L, bzw. [mm] L´\to [/mm] L´haben. Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich hier etwas über die Körperereiterungen L und L´schließen kann.
Zu 2.: Die einzige Idee die mir hier einfällt, wäre zu zeigen, dass [mm] \IZ/2 [/mm] x [mm] \IZ/4 [/mm] oder [mm] Gal(L/\IQ) [/mm] zyklisch ist, die andere Gruppe aber nicht. Nur weiß ich nicht genau welche der beiden Gruppen zyklisch ist. Von [mm] Gal(L/\IQ) [/mm] wüsste ich es schon, aber nur, wenn es [mm] L/\IQ [/mm] eine endliche Erweiterung ist.
Wie gesagt, falls heute jemand ein Lenen retten möchte, bitte helft mir bei der Aufgabe 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 30.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Zu 1.: "mit isomorpher Galoisgruppe" meint doch, dass die
> Galoisgruppen der beiden Galoiserweiterungen zueinander
> isomorph sind, oder?
genau.
> Das heißt dann also, dass, auch wegen der Endlichkeit der
> ERweiterung, die Galoisgruppen gleichviele Automorphismen L
> [mm]\to[/mm] L, bzw. [mm]L´\to[/mm] L´haben. Jetzt weiß ich aber nicht, wie
> ich hier etwas über die Körperereiterungen L und
> L´schließen kann.
wieviele (nicht-isomorphe) gruppen mit $2$ elementen kennst du? kennst du vielleicht körpererweiterungen vom grad $2$ über [mm] $\mathbb{Q}$, [/mm] welche nicht isomorph sind (überlege mal, was für verschiedene irreduzible polynome vom grad $2$ du kennst)? das wären dann ja schonmal gute kandidaten.
> Zu 2.: Die einzige Idee die mir hier einfällt, wäre zu
> zeigen, dass [mm]\IZ/2[/mm] x [mm]\IZ/4[/mm] oder [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] zyklisch ist,
> die andere Gruppe aber nicht.
kann denn [mm] $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/4$ [/mm] zyklisch sein? wenn dir das nicht direkt klar ist, kannst du ja mal alle elemente hinschreiben und dir überlegen, ob eines davon ordnung $8$ hat.
> Nur weiß ich nicht genau
> welche der beiden Gruppen zyklisch ist. Von [mm]Gal(L/\IQ)[/mm]
> wüsste ich es schon, aber nur, wenn es [mm]L/\IQ[/mm] eine endliche
> Erweiterung ist.
zum einen muss es sich um eine endliche erweiterung handeln, wenn die galois-gruppe endlich ist. andereseits ist mir kein satz bekannt, der aussagt, dass die galois-gruppe dann zyklisch sein muss, wenn die erweiterung endlich ist. ich denke also, dass dieser weg in eine sackgasse führt. überlege dir lieber mal, wie der zerfällungskörper $L$ des polynoms $f = [mm] X^4 [/mm] - 2 [mm] \in \mathbb{Q}[X]$ [/mm] aussieht. wie ist die struktur von [mm] $\textrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$?
[/mm]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mi 30.01.2008 | | Autor: | c.t. |
> wieviele (nicht-isomorphe) gruppen mit [mm]2[/mm] elementen kennst
> du? kennst du vielleicht körpererweiterungen vom grad [mm]2[/mm]
> über [mm]\mathbb{Q}[/mm], welche nicht isomorph sind (überlege mal,
> was für verschiedene irreduzible polynome vom grad [mm]2[/mm] du
> kennst)? das wären dann ja schonmal gute kandidaten.
Also läuft das Ganze auf ein Gegenbeispiel hinaus. Nehmen wir also die Polynome [mm] X^2+1 [/mm] und [mm] X^2-2, [/mm] also die Körpererweiterungen [mm] L=\IQ(i) [/mm] und [mm] L´=\IQ(\wurzel{2}). [/mm] Die jeweiligen Galoisgruppen sind dann isomorph zueinander, weil sie gleichviele Elemente haben, das reicht doch bei endlichen Gruppen, oder?
Und warum ist jetzt L nicht isomorph zu L´?
> zum einen muss es sich um eine endliche erweiterung
> handeln, wenn die galois-gruppe endlich ist. andereseits
> ist mir kein satz bekannt, der aussagt, dass die
> galois-gruppe dann zyklisch sein muss, wenn die erweiterung
> endlich ist. ich denke also, dass dieser weg in eine
> sackgasse führt. überlege dir lieber mal, wie der
> zerfällungskörper [mm]L[/mm] des polynoms [mm]f = X^4 - 2 \in \mathbb{Q}[X][/mm]
> aussieht. wie ist die struktur von
> [mm]\textrm{Gal}(L/\mathbb{Q})[/mm]?
>
> grüße
> andreas
Also ein Zerfällungs Körper von [mm] X^4-2 [/mm] ist [mm] \IQ(\wurzel{\pm\wurzel{2}})
[/mm]
Insgesamt habe ich jetzt, dass Gal(L/ [mm] \IQ) [/mm] 8 Elemente hat, genauso, wie [mm] \IZ/2 [/mm] x [mm] \Z/4. [/mm] und die sind dann ja isomorph?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Fr 01.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Also läuft das Ganze auf ein Gegenbeispiel hinaus. Nehmen
> wir also die Polynome [mm]X^2+1[/mm] und [mm]X^2-2,[/mm] also die
> Körpererweiterungen [mm]L=\IQ(i)[/mm] und [mm]L´=\IQ(\wurzel{2}).[/mm]
das sieht gut aus.
> Die
> jeweiligen Galoisgruppen sind dann isomorph zueinander,
> weil sie gleichviele Elemente haben, das reicht doch bei
> endlichen Gruppen, oder?
das reicht bei endlichen gruppen im allgemeien natürlich nicht - das würde gruppentheoretiker arbeitslos machen. zu einer bestimmten ordnung kann es durchaus viele nicht-isomorphe gruppen geben, mach dir das klar [mm] $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$ [/mm] versus [mm] $\mathbb{Z}/4$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{Z}/6$ [/mm] versus [mm] $S_3$). [/mm] aber bei zwei elementen stimmt es (warum stimmt das bei gruppen von primzahlordnung?).
> Und warum ist jetzt L nicht isomorph zu L´?
nimm an du hättest einen isomorphismus [mm] $\varphi: [/mm] L [mm] \longrightarrow [/mm] L'$. was muss dann für [mm] $\varphi(i)$ [/mm] gelten? kann das erfüllt sein?
> Also ein Zerfällungs Körper von [mm]X^4-2[/mm] ist
> [mm]\IQ(\wurzel{\pm\wurzel{2}})[/mm]
>
> Insgesamt habe ich jetzt, dass Gal(L/ [mm]\IQ)[/mm] 8 Elemente hat,
> genauso, wie [mm]\IZ/2[/mm] x [mm]\Z/4.[/mm] und die sind dann ja isomorph?
felix hat mich in der zwischenzeit darauf hingewiesen, dass das keine gute idee war, da die galoisgruppe hier wohl [mm] $D_4$ [/mm] ist. aber vielleicht funktioniert es mit dem zerfällungskörper der familie [mm] $\mathcal{F} [/mm] = [mm] \{X^4 + 1, X^2 - 2\}$. [/mm] probiere das doch mal.
grüße
andreas
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