Iso zwischen (C,+) und (R,*) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mi 24.10.2007 | | Autor: | c.t. |
| Aufgabe | | Sind die Gruppen [mm] (\IC, [/mm] 0, +) und [mm] (\IR_{>0}, [/mm] 1, *) isomorph? |
Hallo,
ich bitte um Hilfe bei meiner Aufgabe.
Ich glaube, dass es da keinen Isomorphismus geben kann, weil [mm] (\IR_{>0}, [/mm] 1, *) isomorph ist zu [mm] (\IR, [/mm] 0, +), also dann [mm] (\IC, [/mm] 0, +) auch isomorph zu [mm] (\IR, [/mm] 0, +) sein müsste.
Allerdings scheind mir [mm] (\IC, [/mm] 0, +) und [mm] (\IR, [/mm] 0, +) nicht surjektiv auf einander abbildbar zu sein. Dafür fehlt mir aber noch ein Argument, mir fallen nämlich nur Vektorraumargumente und keine Gruppenargumente ein, die gegen die Surjektivität sprechen würden.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 24.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> ich bitte um Hilfe bei meiner Aufgabe.
> Ich glaube, dass es da keinen Isomorphismus geben kann,
> weil [mm](\IR_{>0},[/mm] 1, *) isomorph ist zu [mm](\IR,[/mm] 0, +), also
> dann [mm](\IC,[/mm] 0, +) auch isomorph zu [mm](\IR,[/mm] 0, +) sein müsste.
>
> Allerdings scheind mir [mm](\IC,[/mm] 0, +) und [mm](\IR,[/mm] 0, +) nicht
> surjektiv auf einander abbildbar zu sein. Dafür fehlt mir
> aber noch ein Argument, mir fallen nämlich nur
> Vektorraumargumente und keine Gruppenargumente ein, die
> gegen die Surjektivität sprechen würden.
vektorraum argumente sind hier schon ganz hilfreich. und zwar entsprechen die gruppenhomomorphismen zwischen [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] genau den [mm] $\mathbb{Q}$-vektorraum-homomorphismen [/mm] zwischen diesen beiden objekten. und da [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] die selbe [mm] $\mathbb{Q}$-dimension [/mm] haben (nämlich abzählbar unendlich) sind diese isomorph, also sind sie auch als gruppen isomorph.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Do 25.10.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Andreas
> objekten. und da [mm]\mathbb{C}[/mm] und [mm]\mathbb{R}[/mm] die selbe
> [mm]\mathbb{Q}[/mm]-dimension haben (nämlich abzählbar unendlich)
Ich stimme dir schon zu, dass sie die selbe [mm] $\IQ$-Vektorraumdimension [/mm] haben (man kann eine Basis von [mm] $\IR$ [/mm] durch ``verdoppeln'' jedes Basiselements in eine von [mm] $\IC$ [/mm] ueberfuehren), allerdings bin ich mit der Kardinalitaet nicht ganz einverstanden.
Wenn $V$ ein abzaehlbar-unendlich-dimensionaler [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] ist, etwa mit Basis [mm] $\{ v_i \mid i \in \IN \}$, [/mm] dann ist $V$ doch die Vereinigung aller endlichdimensionalen [mm] $\IQ$-Vektorraeume $U_{i_1,\dots,i_n} [/mm] := [mm] \langle v_{i_1}, \dots, v_{i_n} \rangle$ [/mm] mit [mm] $i_1, \dots, i_n \in \IN$. [/mm] Nun gibt es abzaehlbar viele Moeglichkeiten fuer die Wahl solcher [mm] $U_{i_1,\dots,i_n}$, [/mm] und diese sind als endlichdimensionale [mm] $\IQ$-Vektorraeume [/mm] selber als Mengen abzaehlbar, womit deren Vereinigung auch wieder abzaehlbar ist. Womit insbesondere [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IC$ [/mm] als ueberabzaehlbare Mengen keine abzaehlbar-unendlich-dimensionalen [mm] $\IQ$-Vektorraeume [/mm] sein koennen.
Oder uebersehe ich grad etwas?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Do 25.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Oder uebersehe ich grad etwas?
natürlich nicht! da fehlte einfach ein "über"!
grüße
andreas
|
|
|
|
