Irreduzible Polynome? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Sa 22.11.2008 | | Autor: | kawu |
Hallo!
Ich würde gerne einmal wissen, wie ich rausfinde, ob ein Polynom irreduzibel ist. Bei Polynomen bis zum zweiten Grad geht das ja über die nicht vorhandene Nullstelle und Polynome ersten Grades sind so oder so irreduzibel. Aber wie sieht es darüber aus?
Ich habe einmal gelesen, dass man nur alle Elemente des Körpers einsetzen muss. Wenn dass Erebnis niemals 0 war, dann ist das Polynom irreduzibel.
Also wäre z.B. [mm]A(X) = 1 + 2X + X^2 + 3X^3 + x^4 + 4X^5[/mm] nicht irreduzibel, denn: A(3) mod 5 = 0.
Aber da für [mm]B(X) = 1 + x^2 + x^3 + 3x^4 + x^5[/mm] gilt: für alle [mm]i \in \mathds{Z}_5[/mm] ist [mm]B(i) mod 5 \neq 0[/mm]
Kann ich mir nun wirklich sicher sein, dass dieses Polynom irreduzibel ist?
lg, kawu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Sa 22.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo kawu
> Ich würde gerne einmal wissen, wie ich rausfinde, ob ein
> Polynom irreduzibel ist. Bei Polynomen bis zum zweiten Grad
> geht das ja über die nicht vorhandene Nullstelle und
> Polynome ersten Grades sind so oder so irreduzibel. Aber
> wie sieht es darüber aus?
Im Allgemeinen funktioniert das nicht: betrachte z.B. das Polynom $f = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2$ [/mm] ueber den reellen Zahlen. Setzt du irgendeine reelle Zahl fuer $x$ ein, ist das Ergebnis echt positiv, also nicht 0. Aber du kannst das Polynom als [mm] $(x^2 [/mm] + 1) [mm] \cdot (x^2 [/mm] + 1)$ schreiben, womit es nicht irreduzibel ist.
> Ich habe einmal gelesen, dass man nur alle Elemente des
> Körpers einsetzen muss. Wenn dass Erebnis niemals 0 war,
> dann ist das Polynom irreduzibel.
>
> Also wäre z.B. [mm]A(X) = 1 + 2X + X^2 + 3X^3 + x^4 + 4X^5[/mm]
> nicht irreduzibel, denn: A(3) mod 5 = 0.
Genau. Sobald du eine Nullstelle hast und das Polynom nicht gerade den Grad 1 hat, ist es reduzibel. (Wenn es Grad 1 hat, hat es immer eine Nullstelle und ist immer irreduzibel -- zumindest bei Polynomen ueber Koerpern.)
> Aber da für [mm]B(X) = 1 + x^2 + x^3 + 3x^4 + x^5[/mm] gilt: für
> alle [mm]i \in \mathds{Z}_5[/mm] ist [mm]B(i) mod 5 \neq 0[/mm]
>
> Kann ich mir nun wirklich sicher sein, dass dieses Polynom
> irreduzibel ist?
Nein. Du weisst nur, dass es keinen Linearfaktor gibt den man abspalten koennte. Aber es koennte immer noch das Produkt von zwei irreduziblen Polynomen sein, eins von Grad 2 und eins von Grad 3. Um das auszuschliessen, musst du noch etwas mehr arbeiten.
Mit etwas Wissen ueber endliche Koerper kannst du wie folgt vorgehen: berechne den ggT von [mm] $x^{5^2} [/mm] - x$ und $B(x)$. Ist dieser nicht konstant, so ist er ein irreduzibler Teiler von $B(x)$ von Grad 1 oder 2, womit $B(x)$ nicht irreduzibel ist.
Ist er dagegen konstant, so hat $B(x)$ keinen Teiler von Grad 1 oder 2, womit es irreduzibel sein muss.
LG Felix
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