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| Aufgabe | | Zeige, dass die Elemente 2, 3, 1+ [mm] \wurzel{-5}, [/mm] 1- [mm] \wurzel{-5} [/mm] des Ringes [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] unzerlegbar und paarweise nicht assoziiert sind. (Die Normabbildung N: [mm] \IZ[\wurzel{-5}] \to \IZ, [/mm] a+b [mm] \wurzel{-5} \to a^{2} +5b^{2} [/mm] ist dabei nützlich) |
Hallöchen,
beim lösen dieser Aufgabe bin ich noch etwas unsicher und hoffe jemand hat mal zeit kurz drüber zu schauen und mir ein kleines feedback zu geben.
zunächst einmal ist die Normabbildung multiplikativ,d.h N(xy)=N(x)N(y) für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
Des weiteren gilt N(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=0
N(x)=1 für x [mm] \in [/mm] {+1,-1} das heißt die norm der Einheiten nimmt gerade den Wert 1 ein.
hier liegt mein Problem wie zeige ich dass +1 und -1 die einzigen beiden Einheiten sind?
So ich mach mal weiter soweit wie ich gekommen bin.
Wenn nun 2 reduzibel wäre würde gelten 2=xy. Des weiten 4=N(2)=N(x)N(y).
Entweder wäre also N(x) oder N(y)=1 und somit x oder y eine Einheit. oder es würde gelten N(x)=N(y)=2 dies ist aber nicht möglich, weil [mm] 2=a^{2}+5b^{2} [/mm] nie für a,b [mm] \in \IZ [/mm] erfüllt ist. Somit muss 2 in [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] unzerlegbar sein.
Reicht dies als begründung für den 1. teil aus oder benötige ich noch mehr?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 So 23.10.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> zunächst einmal ist die Normabbildung multiplikativ,d.h
> N(xy)=N(x)N(y) für alle x,y [mm]\in \IR[/mm]
> Des weiteren gilt
> N(x)=0 [mm]\gdw[/mm] x=0
> N(x)=1 für x [mm]\in[/mm] {+1,-1} das heißt die norm der
> Einheiten nimmt gerade den Wert 1 ein.
>
> hier liegt mein Problem wie zeige ich dass +1 und -1 die
> einzigen beiden Einheiten sind?
Ist $a$ Einheit, so gibt es $b [mm] \in \IZ[\sqrt{-5}]: [/mm] ab=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1=N(1) = N(ab) = N(a)N(b) [mm] \Rightarrow [/mm] N(a) = 1$, da die Norm nur positive ganze Zahlen annimmt.
Damit sollte es dir nicht schwer fallen zu zeigen, dass 1 und -1 die einzigen Einheiten sind.
> So ich mach mal weiter soweit wie ich gekommen bin.
>
> Wenn nun 2 reduzibel wäre würde gelten 2=xy. Des weiten
> 4=N(2)=N(x)N(y).
> Entweder wäre also N(x) oder N(y)=1 und somit x oder y
> eine Einheit. oder es würde gelten N(x)=N(y)=2 dies ist
> aber nicht möglich, weil [mm]2=a^{2}+5b^{2}[/mm] nie für a,b [mm]\in \IZ[/mm]
> erfüllt ist. Somit muss 2 in [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm] unzerlegbar
> sein.
>
> Reicht dies als begründung für den 1. teil aus oder
> benötige ich noch mehr?
Ich denke das passt.
LG, Lippel
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Hallöchen,
ich beschäftige mich gerade noch mit dem zweiten Teil der Aufgabe und komme damit nicht ganz zu recht.
Ich soll ja zeigen, dass die Elemente paarweise nicht assoziiert sind. Nun heißen zwei Elemente a,b [mm] \in [/mm] R assoziiert wenn [mm] \bruch{a}{b} \in [/mm] R* ist.
Ich muss also zeigen, dass [mm] \bruch{a}{b} [/mm] nicht in R* liegt.
Damit tue ich mich ein bisschen schwer.
Benötige ich hierfür auch die Normabbildung?
Wenn ich zeigen will dass 2 und 3 nicht zueinander assooziiert sind, muss ich zeigen [mm] \bruch{2}{3} [/mm] nicht in {-1,1}
[mm] \bruch{2}{3}=\bruch{2+ 0 \wurzel{-5}}{3+ 0 \wurzel{-5}} [/mm] aber das bringt mich ja nun nicht weiter. also was mache ich falsch? Kann mir bitte jemand helfen.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 23.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich beschäftige mich gerade noch mit dem zweiten Teil der
> Aufgabe und komme damit nicht ganz zu recht.
>
> Ich soll ja zeigen, dass die Elemente paarweise nicht
> assoziiert sind. Nun heißen zwei Elemente a,b [mm]\in[/mm] R
> assoziiert wenn [mm]\bruch{a}{b} \in[/mm] R* ist.
>
> Ich muss also zeigen, dass [mm]\bruch{a}{b}[/mm] nicht in R* liegt.
Nun, das ist der Fall, falls einer der beiden Brueche [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] und [mm] $\frac{b}{a}$ [/mm] erst gar nicht in $R$ liegt.
Hier ist es sogar so, dass dies bei beiden Bruechen nicht der Fall ist (da $a$ und $b$ irreduzibel sind).
Also berechne einach [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] und zeige, dass es gar nicht in $R$ liegt.
> Wenn ich zeigen will dass 2 und 3 nicht zueinander
> assooziiert sind, muss ich zeigen [mm]\bruch{2}{3}[/mm] nicht in
> {-1,1}
> [mm]\bruch{2}{3}=\bruch{2+ 0 \wurzel{-5}}{3+ 0 \wurzel{-5}}[/mm]
Na, [mm] $\frac{2}{3} [/mm] = [mm] \frac{2}{3} \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot \sqrt{-5}$. [/mm] Da $1$ und [mm] $\sqrt{-5}$ [/mm] linear unabhaengig ueber [mm] $\IQ$ [/mm] sind weisst du, dass [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] nicht von der Form $a [mm] \cdot [/mm] 1 + b [mm] \cdot \sqrt{-5}$ [/mm] mit $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] sein kann. Also gilt [mm] $\frac{2}{3} \not\in [/mm] R$.
LG Felix
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