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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Sa 28.07.2007 | | Autor: | baskolii |
Hi,
ich lern grad für ne Algebra-Prüfung und versuch dazu ein paar Aufgaben zu lösen. Bei folgender Aufgabe war ich dabei leider wenig erfolgreich.
| Aufgabe | | Zeige, dass $F(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)+1$ für [mm] $x\ge1$, $x\not=4$ [/mm] irreduzibel über [mm] $\IZ$ [/mm] ist. |
Ich hab versucht das ganze auf einen Widerspruch zu bringen. Also falls das Polynom reduzibel ist, dann gibt es f und g mit deg(f),deg(g)<n, so dass $F(x)=f(x)g(x)$. Da $F(x)=1$ für $x=1,...,n$, muss gelten: $f(x)=g(x)=1$ oder $f(x)=g(x)=-1$ für $x=1,...,n$. Also ist $f(x)-g(x)=0$, für $x=1,...,n$ und da $deg(f-g)<n$ gilt sogar $f(x)-g(x)=0$, [mm] $\forall [/mm] x$. Also $f(x)=g(x)$ und [mm] $F(x)=(f(x))^2$. [/mm] Jetzt hatte ich gehofft, dass der konstante Term von F nur für $n=4$ ein Quadrat ist. Leider stimmt das schon für $n=5$ nicht.
Meine restlichen Versuche die Aufgabe zu lösen erspar ich euch lieber und hoffe, dass einer von euch ne geniale Idee hat. Vielen Dank schon mal.
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> Zeige, dass [mm]F(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)+1[/mm] für [mm]x\ge1[/mm], [mm]x\not=4[/mm]
> irreduzibel über [mm]\IZ[/mm] ist.
>
> ...[mm]F(x)=(f(x))^2[/mm]...
Hallo,
der konstante Term von F ist ja (-1)^nn!+1.
Wenn [mm] F(x)=(f(x))^2, [/mm] bibt es ein [mm] b\in \IZ [/mm] mit [mm] b^2=(-1)^nn!+1.
[/mm]
Also kann das schonmal für Polynome F ungereaden Grades nicht klappen.
also ist n gerade, und somit muß [mm] n!+1=b^2 [/mm] <==> [mm] n!=b^2-1=(b+1)(b-1) [/mm] gelten.
Bei n=4 klappt das ja auch, aber sonst?
Gruß v. Angela
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