Ionescu-Tulcea Markovketten < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 28.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Ich habe wieder einmal eine Frage bezgl. einem Skript, das ich im Internet gefunden habe. Hier ist der ![[]](/images/popup.gif) Link.
Meine Frage bezieht sich auf Seite 138.
Im Beweis der Proposition wird unter (5.2.35) behauptet:
$$ [mm] f(X_n,X_{n+1},\dots,X_{n+k})= E^{P_{X_n}}[f(X_0,\dots,X_k)]$$
[/mm]
Wieso gilt dies? Ich meine es ist doch:
$$ [mm] E^{P_{X_n}}[f(X_0,\dots,X_k)] [/mm] = [mm] \int_S \delta_{X_n}(dx_0)\int_S K(x_0,dx_1)\int_S \dots \int_S K(x_{n-1},dx_n) f(x_0,\dots,x_n)$$
[/mm]
Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte. Danke schon jetzt!
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
Ich weiß nicht, was das [mm] $\delta$ [/mm] genau sein soll, aber ich verwende die 1 wie im Skript.
$ [mm] E^{P_\mu}\left(E^{P_{X_n}}[f(X_0,\dots,X_k)]\right) [/mm] =$
$= [mm] E^{P_\mu}\left(\int_S 1_{X_n}(dx_0)\int_S K(x_0,dx_1)\int_S \dots \int_S K(x_{k-1},dx_k) f(x_0,x_1,\dots,x_k)\right)= [/mm] $
$= [mm] E^{P_\mu}\left(\int_S K(X_n,dx_1)\int_S \dots \int_S K(x_{k-1},dx_k) f(X_n, x_1,\dots,x_k)\right)= [/mm] $
$= [mm] \int \mu(dX_n) \int_S K(X_n,dx_1)\int_S \dots \int_S K(x_{k-1},dx_k) f(X_n,x_1,\dots,x_k)$
[/mm]
weil [mm] $\int [/mm] f(x)\ [mm] 1_y(dx) [/mm] = f(y)$ und [mm] $X_n$ [/mm] ist das einzig zufällige Element im äußeren Erwartungswert.
ciao
Stefan
EDIT: ich glaub, ich seh jetzt, was Dein Problem ist. Es ist das [mm] $\mu(dX_n)$. [/mm] Das soll die Verteilung vom n-ten Glied der Kette mit Anfangsverteilung [mm] $\mu$ [/mm] sein (analog zur [mm] $E^{P_\mu}$ [/mm] Notation).
Eine saubere Ausarbeitung ist die Betrachtung
$ [mm] E^{P_\mu}[f(X_n,\dots,X_{n+k})] [/mm] = [mm] \int_S \mu(dx_0)\int_S K(x_0,dx_1)\int_S \dots \int_S K(x_{n+k-1},dx_{n+k}) g(x_0,\dots,x_{n+k}) [/mm] $
mit [mm] $g(x_0,\ldots,x_{n+k})=f(x_n,\ldots,x_{n+k})\ [/mm] \ ( = [mm] 1(x_0,\ldots,x_{n-1})*f(x_n,\ldots,x_{n+k}))$
[/mm]
D.h.
$ [mm] E^{P_\mu}[f(X_n,\dots,X_{n+k})] [/mm] = [mm] \int_S \mu(dx_0)\int_S K(x_0,dx_1)\int_S \dots \int_S K(x_{n-1},dx_{n})\int_S K(x_{n},dx_{n+1})\int_S\dots\int_S K(x_{n+k-1},dx_{n+k}) f(x_n,\dots,x_{n+k}) [/mm] $
$ [mm] =:\int_S \mu(dX_{n})\int_S K(X_{n},dx_{n+1})\int_S\dots\int_S K(x_{n+k-1},dx_{n+k}) f(X_n,x_{n+1},\dots,x_{n+k}) [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 28.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallo stefan
Danke für deine Amtwort. Ich habe aber noch eine Frage. Das $ [mm] \delta
[/mm]
$ ist einfach das dirac mass. Das ist bei bir die [mm] $\mathbf1$, [/mm] richtig?
Jetzt sehe ich nicht ein, wieso mit deiner Berechnung folgendes gezeigt ist
[mm] $$E^{P_{X_n}}[f(X_0,\dots,X_n)]=f(X_n,\dots,X_{n+k})$$
[/mm]
Insbesondere kommt bei dir ja kein k vor.
Danke für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Blech |
das [mm] $x_n$ [/mm] muß ein [mm] $x_k$ [/mm] sein. Du hast die Definition falsch hingeschrieben und ich hab's einfach kopiert, ohne daß es mir aufgefallen wäre. =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Sa 28.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallo stefan
Entschuldige meine Unwissenheit, aber wieso gilt nun:
[mm] $$E^{P_X_{n}}[f(X_0,\dots,X_n)]=f(X_n,\dots,X_{n+k})$$
[/mm]
Ich verstehe immer noch nicht wie diese Gleichheit aus deiner Berechnung folgt. Was meinst du mit
> Du hast die Definition falsch
> hingeschrieben und ich hab's einfach kopiert, ohne daß es
> mir aufgefallen wäre
?
Nochmals danke
Hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Do 02.02.2012 | | Autor: | Blech |
> $ [mm] E^{P_{X_n}}[f(X_0,\dots,X_k)] [/mm] = [mm] \int_S \delta_{X_n}(dx_0)\int_S K(x_0,dx_1)\int_S \dots \int_S K(x_{n-1},dx_n) f(x_0,\dots,x_n) [/mm] $
das muß
$ [mm] E^{P_{X_n}}[f(X_0,\dots,X_k)] [/mm] = [mm] \int_S \delta_{X_n}(dx_0)\int_S K(x_0,dx_1)\int_S \dots \int_S K(x_{k-1},dx_k) f(x_0,\dots,x_k) [/mm] $
sein. Du hast bei (5.2.33) nur auf einer Seite das n durch k ersetzt, auf der anderen jedoch nicht.
> $ [mm] E^{P_X_{n}}[f(X_0,\dots,X_n)]=f(X_n,\dots,X_{n+k}) [/mm] $
1. Es wird gezeigt, daß
$ [mm] E^{P_\mu}( E^{P_{X_{n}}}[f(X_0,\dots,X_k)])=E^{P_\mu}(f(X_n,\dots,X_{n+k})) [/mm] $
Du kannst den äußeren Erwartungswert nicht einfach so weglassen.
2. Auch hier ist es [mm] $f(X_0,\dots,X_k)$ [/mm] und nicht [mm] $f(X_0,\dots,X_n)$
[/mm]
3. [mm] $(X_0,\dots,X_k)$ [/mm] sind nicht die Vergangenheit von [mm] $X_n$ [/mm] sondern eine neue Kette.
Was der Satz sagt ist, daß es für das erwartete Verhalten der Kette keinen Unterschied macht, ob ich die Kette zwischen n und n+k beobachte; oder, falls ich die Verteilung von [mm] $X_n$ [/mm] kenne, einfach eine neue Kette mit dieser Verteilung starte und mir die ersten k Schritte anschaue.
ciao
Stefan
EDIT: Ich rate jetzt einfach mal, daß Dein Problem nicht die Indizes waren, sondern die letzte Zeile in meiner urspr. Antwort. (nachdem Deine einzige spezifische Bemerkung war "insb. kommt bei Dir kein k vor" ist es etwas schwer zu sehen, was Dein Problem ist. Könntest Du etwas ausführlicher werden?)
Siehe Edit zur 1. Antwort.
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