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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Karander |
Hi, normal wenn ich eine Matrix invertieren will mache ich es, so dass ich sie zusammen mit einer Einheitsmatrix umforme und sobald meine "Ausgangsmatrix" die Form einer Einheitsmatrix hat, hat die umgeformte Einheitsmatrix die Form der invertierten. Was mach ich aber in der folgenden Situation?
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
Was kann ich machen um die erste Matrix in die Einheitsmatrix umzuformen und wie wirkt es sich aus auf die andere?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hi, normal wenn ich eine Matrix invertieren will mache ich
> es, so dass ich sie zusammen mit einer Einheitsmatrix
> umforme und sobald meine "Ausgangsmatrix" die Form einer
> Einheitsmatrix hat, hat die umgeformte Einheitsmatrix die
> Form der invertierten. Was mach ich aber in der folgenden
> Situation?
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Was kann ich machen um die erste Matrix in die
> Einheitsmatrix umzuformen und wie wirkt es sich aus auf die
> andere
Hallo,
Wenn du eine invertierbare Matrix A hast, machst du im Prinzip genau das, was du schon angedeutet hast. Indem du am Anfang die Einheitsmatrix E rechts neben deine Matrix A schreibst, die du invertieren willst, erhältst du eine erweiterte Matrix der Form (A|E).
Nun führst du solange Zeilenoperationen durch, bis links die Einheitsmatrix steht. Die Zeilenoperationen sind vom Prinzip her eine linksseitige Multiplikationen mit einer invertierbaren Matrix H. D. h. da du am Ende links die Einheitsmatrix stehen hast, muss gelten HA=E, also [mm] H=A^{-1}. [/mm] Da du mit den Zeilenoperation aber auch die rechts stehende Einheitsmatrix E linksseitig mit H multiplizierst, steht am Ende rechts [mm] HE=A^{-1}E=A^{-1} [/mm] deine invertierbare Matrix:
$(A|E) [mm] \leadsto (HA|HE)=(E|A^{-1})$
[/mm]
Anmerkung: Das Verfahren kannst du auch allgemein anwenden, um zu überprüfen, ob eine Matrix invertierbar ist. Wenn es dir nich möglich ist, links in die Einheitsmatrix umzuformen, so ist die Matrix nicht invertierbar. Das ist bei dir der Fall, weil 2. und 3. Zeile linear abhängig sind.
Kamaleonti
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Karander |
Ahso, also das bedeutet, dass das diese Matrix nicht invertierbar ist?
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
Hm... dann hab ich wohl was falsch verstanden. Denn eigentlich besteht meine Aufgabe darin die Eigenwerte von [mm]f^{-1}[/mm] zu bestimmen wobei gilt f: [mm]\IR^3\rightarrow\IR^3[/mm], x[mm]\rightarrow[/mm]Ax
mit A=[mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Vor 10 muniten hab ich noch gedacht ich müsste dazu A invertieren aber das stimmt so wohl nicht^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mi 09.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ahso, also das bedeutet, dass das diese Matrix nicht
> invertierbar ist?
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
Ja, diese Matrix ist nicht invertierbar !
>
> Hm... dann hab ich wohl was falsch verstanden. Denn
> eigentlich besteht meine Aufgabe darin die Eigenwerte von
> [mm]f^{-1}[/mm] zu bestimmen wobei gilt f: [mm]\IR^3\rightarrow\IR^3[/mm],
> x[mm]\rightarrow[/mm]Ax
>
> mit A=[mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Auch diese matrix ist nicht invertierbar !
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> Vor 10 muniten hab ich noch gedacht ich müsste dazu A
> invertieren aber das stimmt so wohl nicht^^
Vielleicht hat sich der Aufgabensteller vertan oder Du hast etwas falsch abgeschrieben.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Karander |
Aber meine Vorgehensweise war richtig, dass zur Bestimmung der Eigenwerte von [mm]f^{-1}[/mm] ich die [mm]M^B_B(f)[/mm] invertiere, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Mi 09.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Das war ein nicht hilfreicher Beitrag.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Karander |
Ja, das schon ich meine damit nur, dass zum Ausrechnen der Eigenwerte ( wie von dir beschirieben ) der Funktion f brauch ich die Darstellungsmatrix von f. Meine Frage war jetzt nur ob zum Ausrechnen der Eigenwerte der invertierten Funktion ich einfach nur die Darstellungsmatrix von f invertieren und dann mit dieser, wie beschrieben, weiterrechnen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 09.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das schon ich meine damit nur, dass zum Ausrechnen der
> Eigenwerte ( wie von dir beschirieben ) der Funktion f
> brauch ich die Darstellungsmatrix von f. Meine Frage war
> jetzt nur ob zum Ausrechnen der Eigenwerte der invertierten
> Funktion ich einfach nur die Darstellungsmatrix von f
> invertieren und dann mit dieser, wie beschrieben,
> weiterrechnen muss.
Ja, so kannst Du das machen
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Karander |
Ok, danke für die schnelle Antwort :)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, deine 2. und 3. Zeile sind linear abhängig, sind die so gegeben? Steffi
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