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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Mi 30.03.2011 | | Autor: | j3ssi |
| Aufgabe | Es seien $A,B [mm] \in Mat_{K}(n,n)$. [/mm] Weiter sei [mm] $E_{n}- [/mm] AB$ invertierbar.
Zeigen Sie: Dann ist auch [mm] $E_{n}-BA$ [/mm] invertierbar, und es ist [mm] $(E_{n}-BA)^{-1}=E_{n}+B(E_{n}-AB)^{1}A$. [/mm] |
Also Lösungsansatz hab ich erstmal Gleichungen für [mm] $C1=(E_{n}-AB)$ [/mm] und für [mm] $C=(E_{n}-BA)$ [/mm] aufgestellt.
Die sehen so aus
[mm] $c1_{i,j}=\begin{cases} 1-\summe_{k=1}^{n} a_{i,k}b_{k,j}, & \mbox{falls } i=j \\ -\summe_{k=1}^{n} a_{i,k}b_{k,j}, & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
[mm] $c_{i,j}=\begin{cases} 1-\summe_{k=1}^{n} b_{i,k}a_{k,j}, & \mbox{falls } i=j \\ -\summe_{k=1}^{n} b_{i,k}a_{k,j}, & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
Aus C1 invertierbar folgt Rang(C1)=n
Ist das zumindest der richtige Ansatz oder kann das auch anpacken?
Mein nächster Schritt wäre jetzt zu zeigen das auch C den Rang n hat.
Danke für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm]A,B \in Mat_{K}(n,n)[/mm]. Weiter sei [mm]E_{n}- AB[/mm]
> invertierbar.
> Zeigen Sie: Dann ist auch [mm]E_{n}-BA[/mm] invertierbar, und es
> ist [mm](E_{n}-BA)^{-1}=E_{n}+B(E_{n}-AB)^{1}A[/mm].
> Also Lösungsansatz hab ich erstmal Gleichungen für
> [mm]C1=(E_{n}-AB)[/mm] und für [mm]C=(E_{n}-BA)[/mm] aufgestellt.
> Die sehen so aus
> [mm]c1_{i,j}=\begin{cases} 1-\summe_{k=1}^{n} a_{i,k}b_{k,j}, & \mbox{falls } i=j \\ -\summe_{k=1}^{n} a_{i,k}b_{k,j}, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]c_{i,j}=\begin{cases} 1-\summe_{k=1}^{n} b_{i,k}a_{k,j}, & \mbox{falls } i=j \\ -\summe_{k=1}^{n} b_{i,k}a_{k,j}, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Aus C1 invertierbar folgt Rang(C1)=n
> Ist das zumindest der richtige Ansatz oder kann das auch
> anpacken?
> Mein nächster Schritt wäre jetzt zu zeigen das auch C
> den Rang n hat.
Den ganzen Indiceskram von oben brauchst Du nicht !
Was Du zu machen hast hat die Aufgabenstellung Dir doch schon verraten:
Setze [mm] $D:=E_{n}+B(E_{n}-AB)^{-1}A$ [/mm] und zeige [mm] (E_n-BA)*D=E_n
[/mm]
Wenn Du geschickt klammerst , ist es recht einfach.
FRED
>
> Danke für die Hilfe.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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