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| Aufgabe | Gegben sei eine Matrix C [mm] \in \IC^{K \times M} [/mm] , K [mm] \le [/mm] M und C hat K linear unabhängige Zeilen.
Zeige, dass [mm] CC^H [/mm] invertierbar ist. |
Eingentlich scheint mir die Aufgabe nicht so schwer, bin mir aber nicht so sicher mit der Argumentation:
Die Zeilen von C seien [mm] c_i, [/mm] i=1..K
A = [mm] CC^H [/mm] = [mm] [Cc_1^H,Cc_2^H, ...,Cc_K^H]
[/mm]
dim (bild C )) = rang C = K
[mm] \Rightarrow Cc_i^H, [/mm] i=1...K sind linear unabhängig
[mm] \Rightarrow [/mm] rang A = K
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist invertierbar.
Ist das so korrekt? Bin mir mit der Folgerung der linearen Unabhängigkeit nicht so sicher. Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegben sei eine Matrix C [mm]\in \IC^{K \times M}[/mm] , K [mm]\le[/mm] M und
> C hat K linear unabhängige Zeilen.
> Zeige, dass [mm]CC^H[/mm] invertierbar ist.
> Eingentlich scheint mir die Aufgabe nicht so schwer, bin
> mir aber nicht so sicher mit der Argumentation:
>
> Die Zeilen von C seien [mm]c_i,[/mm] i=1..K
> A = [mm]CC^H[/mm] = [mm][Cc_1^H,Cc_2^H, ...,Cc_K^H][/mm]
> dim (bild C )) =
> rang C = K
> [mm]\Rightarrow Cc_i^H,[/mm] i=1...K sind linear unabhängig
> [mm]\Rightarrow[/mm] rang A = K
> [mm]\Rightarrow[/mm] A ist invertierbar.
>
Also [mm] $CC^{H}$ [/mm] ist ja eine $K [mm] \times [/mm] K $ Matrix. Dann hast du richtig hingeschrieben, dass A = [mm]CC^H[/mm] = [mm][mm] [Cc_1^H,Cc_2^H, ...,Cc_K^H]. [/mm] Diese sind dann linear unabhängig(ich hoffe du weißt wieso?) Somit hat die Produktmatrix [mm] rg(CC^{H})=k [/mm] und ist weil ja eine $K [mm] \times [/mm] K$ Matrix invertierbar. Also alles ok.
Frohe Ostern
> Ist das so korrekt? Bin mir mit der Folgerung der linearen
> Unabhängigkeit nicht so sicher. Vielen Dank für eure
> Hilfe.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > Gegben sei eine Matrix C [mm]\in \IC^{K \times M}[/mm] , K [mm]\le[/mm] M und
> > C hat K linear unabhängige Zeilen.
> > Zeige, dass [mm]CC^H[/mm] invertierbar ist.
> > Eingentlich scheint mir die Aufgabe nicht so schwer,
> bin
> > mir aber nicht so sicher mit der Argumentation:
> >
> > Die Zeilen von C seien [mm]c_i,[/mm] i=1..K
> > A = [mm]CC^H[/mm] = [mm][Cc_1^H,Cc_2^H, ...,Cc_K^H][/mm]
> > dim (bild C
> )) =
> > rang C = K
> > [mm]\Rightarrow Cc_i^H,[/mm] i=1...K sind linear unabhängig
> > [mm]\Rightarrow[/mm] rang A = K
> > [mm]\Rightarrow[/mm] A ist invertierbar.
> >
>
> Also [mm]CC^{H}[/mm] ist ja eine [mm]K \times K[/mm] Matrix. Dann hast du
> richtig hingeschrieben, dass A = [mm]CC^H[/mm] = [mm][mm][Cc_1^H,Cc_2^H, ...,Cc_K^H].[/mm] Diese sind dann linear unabhängig(ich hoffe du weißt wieso?)
Zugegeben, genau das ist mein Problem. Ich denke, dass es mit der linearen Unabhängigkeit der Zeilen von C zusammenhängt. Mir ist aber nicht ganz klar warum daraus die lineare Unabhängigkeit der vektoren [mm]Cc_i^H, i=1...K[/mm] folgt.
Eine kurze Erklärung wäre super!
> Somit hat die Produktmatrix [mm]rg(CC^{H})=k[/mm] und ist weil ja eine [mm]K \times K[/mm] Matrix invertierbar. Also alles ok.
Frohe Ostern
Vielen Dank für deine Antwort und dir auch frohe Ostern!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 So 12.04.2009 | | Autor: | Blech |
Tip:
[mm] $CC^h [/mm] v=0$
jetzt multiplizieren wir von links mit [mm] $v^h$
[/mm]
[mm] $v^hCC^hv=\|C^hv\|_2^2 [/mm] =0$
[mm] $\Rightarrow C^h [/mm] v=0$
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mo 13.04.2009 | | Autor: | SanMiggel |
*an den Kopf klatsch*
Wow, es hat eine ganze Weile gedauert, bis ich gecheckt habe wie mir dein Tip weiterhilft. Als Elektrotechniker ist man doch nicht so in der Beweis-Problematik drin...
Vielen Dank für deine Hilfe!
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Blech |
> *an den Kopf klatsch*
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> Wow, es hat eine ganze Weile gedauert, bis ich gecheckt
> habe wie mir dein Tip weiterhilft. Als Elektrotechniker ist
> man doch nicht so in der Beweis-Problematik drin...
Das sind dafür dann die Sachen, die Du nicht wieder vergißt. =)
ciao
Stefan
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