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Hallo,
ich habe eine Aufgabe bekommen, bei der überhaupt nicht weiterkomme:
Berechnen Sie die invertierbaren Elemente von ( [mm] \IZ [/mm] 8, [mm] \odot [/mm] ) und bestimmen Sie Ihre Inversen.
Was sind denn genau invertierbare Elemente?
Ich weiß lediglich, dass bei xy=yx=e , y das Inverse [mm] x^{-1} [/mm] von x ist.
Bitte um Hilfe
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Grüße!
Was genau meinst Du mit [mm] $\IZ \; [/mm] 8$? Vielleicht [mm] $\IZ [/mm] / 8 [mm] \IZ$, [/mm] also den Restklassenring modulo 8?
Das Problem bei einem allgemeinen Ring ist, dass nicht jedes Element invertierbar sein muß. Deine Definition ist schon korrekt - es geht allerdings um die Invertierbarkeit bezüglich der Multiplikation, d.h. es wird zu einem Element $a$ des Ringes ein Element $b$ gesucht mit $a [mm] \cdot [/mm] b = 1$.
Das gibt es aber nicht immer... ist der Ring zum Beispiel schlicht [mm] $\IZ$, [/mm] so hat die Zahl 3 z.B. kein Inverses - das Inverse wäre ja [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] und das ist ja keine ganze Zahl! Die einzigen invertierbaren ganzen Zahlen sind 1 und -1.
In dem Restklassenring gibt es auch nicht invertierbare Elemente... die Multiplikation ist da ja etwas anders definiert. Am besten schreibst Du Dir die Multiplikationstabelle auf und prüfst von Hand nach, welche Elemente Inverse benutzen. Die allgemeine Theorie verrät, dass es genau die sein sollten, die teilerfremd zu 8 sind, also in diesem Fall 1, 3, 5 und 7. Aber beweisen mußt Du das! 
Viel Glück!
Lars
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