Invertierbare Matrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]A := \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 } [/mm]
Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix [mm]P[/mm], sodass [mm]P^{-1} * A * P[/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist. |
Hallo zusammen,
in einer anderen Teilaufgabe (welche sich auf die selbe Matrix bezieht) habe ich bereits ermittelt, dass diese Matrix nicht diagonalisierbar ist und die Eigenwerte [mm]\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = -1[/mm] lauten.
Mein Lösungsansatz:
Die Matrix [mm]P[/mm] könnte ich also aus zu diesen Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren erstellen.
Allerdings wären die Zeilenvektoren dieser Matrix dann linear abhängig, sodass die Matrix nicht invertierbar wäre.
Dieser Ansatz ist also scheinbar falsch.
Wie sollte ich bei dieser Aufgabe stattdessen vorgehen?
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A := \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 }[/mm]
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> Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix [mm]P[/mm], sodass [mm]P^{-1} * A * P[/mm] eine
> obere Dreiecksmatrix ist.
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> Hallo zusammen,
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> in einer anderen Teilaufgabe (welche sich auf die selbe
> Matrix bezieht) habe ich bereits ermittelt, dass diese
> Matrix nicht diagonalisierbar ist und die
> Eigenwerte [mm]\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = -1[/mm] lauten.
>
> Mein Lösungsansatz:
> Die Matrix [mm]P[/mm] könnte ich also aus zu diesen Eigenwerten
> gehörigen Eigenvektoren erstellen.
>
> Allerdings wären die Zeilenvektoren dieser Matrix dann
> linear abhängig, sodass die Matrix nicht invertierbar
> wäre.
>
> Dieser Ansatz ist also scheinbar falsch.
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> Wie sollte ich bei dieser Aufgabe stattdessen vorgehen?
Bestimme die Jordannormalform von A.
FRED
>
> Viele Grüße
> Patrick
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> Bestimme die Jordannormalform von A.
Hallo Fred,
danke für Deine Antwort.
Als Jordannormalform von A habe ich ermittelt:
[mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
Allerdings verstehe ich nicht so recht, wie mir das jetzt bei der Lösung weiterhilft. Was muss ich mit dieser Matrix jetzt tun, um eine Matrix [mm]P[/mm] entsprechend der Anforderung aus der Aufgabe zu ermitteln?
Viele Grüße
Patrick
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> Als Jordannormalform von A habe ich ermittelt:
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> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
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> Allerdings verstehe ich nicht so recht, wie mir das jetzt
> bei der Lösung weiterhilft. Was muss ich mit dieser Matrix
> jetzt tun, um eine Matrix [mm]P[/mm] entsprechend der Anforderung
> aus der Aufgabe zu ermitteln?
Hallo,
Du mußt dafür eine Jordanbasis ermitteln,
die entsprechende Matrix ist dann die gesuchte.
Oder anders gesagt:
Du brauchst eine Basis [mm] B:=(b_1, b_2, b_3), [/mm] die so gemacht ist, daß Deine JNF die darstellende Matrix der Abbildung [mm] f_A [/mm] mit [mm] f_A(x)=Ax [/mm] ist.
Es muß also sein
[mm] f_A(b_1)=-b_1
[/mm]
[mm] f_A(b_2)=b_1-b_2
[/mm]
[mm] f_A(b_3)=b_3.
[/mm]
[mm] b_1 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] findest Du leicht.
[mm] b_2 [/mm] wird Dir auch gelingen. Versuch mal.
LG Angela
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Hallo Angela,
danke für Deine Antwort.
> Du mußt dafür eine Jordanbasis ermitteln,
> die entsprechende Matrix ist dann die gesuchte.
>
> Oder anders gesagt:
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> Du brauchst eine Basis [mm]B:=(b_1, b_2, b_3),[/mm] die so gemacht
> ist, daß Deine JNF die darstellende Matrix der Abbildung
> [mm]f_A[/mm] mit [mm]f_A(x)=Ax[/mm] ist.
>
> Es muß also sein
>
> [mm]f_A(b_1)=-b_1[/mm]
> [mm]f_A(b_2)=b_1-b_2[/mm]
> [mm]f_A(b_3)=b_3.[/mm]
>
> [mm]b_1[/mm] und [mm]b_3[/mm] findest Du leicht.
>
> [mm]b_2[/mm] wird Dir auch gelingen. Versuch mal.
Ich bin mir aller nicht sicher ob ich richig verstehe, was Du meinst.
Das mir bekannte Verfahren zur Bestimmung einer Jordanbasis sagt, dass ich die Basisvektoren in diesem Fall aus den Kernen von [mm](A-1*E_n)[/mm] , [mm](A+1*E_n)[/mm] , [mm](A+1*E_n)^2[/mm] wählen muss.
Damit erhalte ich dann
[mm]v_1 = \vektor{1 \\ 2 \\ 1} , v_2 = \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} , v_3 = \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
und kann daraus die Matrix
[mm]P := \pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm]
bilden.
Nun muss also [mm]P^{-1} * A * P = J[/mm] ergeben. Allerdings ist das nicht der Fall.
Viele Grüße
Patrick
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> Damit erhalte ich dann
>
> [mm]v_1 = \vektor{1 \\ 2 \\ 1} , v_2 = \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} , v_3 = \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> und kann daraus die Matrix
>
> [mm]P := \pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> bilden.
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> Nun muss also [mm]P^{-1} * A * P = J[/mm] ergeben. Allerdings
> ist das nicht der Fall.
Hallo,
weil Du die Vektoren so angeordnet hast, daß zuerst die zum EW -1 gehörenden kommen, sieht Deine JNF anders aus als zuvor angegeben - aber eine JNF solltest Du bekommen.
Ich meine, daß Deine Vektoren passen.
Prüfe nochmal.
Wenn's nicht klappt, gib die inverse Matrix an,
schreib' die Multiplikationen und ihre Ergebnisse mundgerecht hin zum Nachrechnen.
LG Angela
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Hallo nochmals,
> weil Du die Vektoren so angeordnet hast, daß zuerst die
> zum EW -1 gehörenden kommen, sieht Deine JNF anders aus
> als zuvor angegeben - aber eine JNF solltest Du bekommen.
> Ich meine, daß Deine Vektoren passen.
ich habe die Vektoren jetzt einmal umsortiert, allerdings ist die Matrix [mm]J[/mm] noch immer keine obere Dreiecksmatrix (und das wird in der Aufgabe ja explizit gefordert):
[mm] \underbrace{\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }}_{P} * \underbrace{\pmat{ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} }}_{P^{-1}} * \underbrace{\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 }}_{A}[/mm]
[mm]= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } * \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 } = \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 } = J[/mm]
Gruß
Patrick
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> Hallo nochmals,
>
> > weil Du die Vektoren so angeordnet hast, daß zuerst die
> > zum EW -1 gehörenden kommen, sieht Deine JNF anders
> aus
> > als zuvor angegeben - aber eine JNF solltest Du
> bekommen.
> > Ich meine, daß Deine Vektoren passen.
>
> ich habe die Vektoren jetzt einmal umsortiert, allerdings
> ist die Matrix [mm]J[/mm] noch immer keine obere Dreiecksmatrix
> (und das wird in der Aufgabe ja explizit gefordert):
>
> [mm]\underbrace{\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }}_{P} * \underbrace{\pmat{ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} }}_{P^{-1}} * \underbrace{\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 }}_{A}[/mm]
>
> [mm]= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } * \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 } = \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 } = J[/mm]
Hallo,
Du rechnest doch auch [mm] P*P^{-1}*A [/mm] aus.
Du brauchst aber doch [mm] P^{-1}*A*P.
[/mm]
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>
> Gruß
> Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Di 07.05.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Angela!
> Du rechnest doch auch [mm]P*P^{-1}*A[/mm] aus.
> Du brauchst aber doch [mm]P^{-1}*A*P.[/mm]
Autsch … danke, das hatte ich im Eifer des Gefechts gar nicht mehr bemerkt.
Jetzt passt's auch mit dem Ergebnis.
Vielen Dank!
Beste Grüße
Patrick
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