Inverse in Z für det(A)=1 < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Do 13.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine Matrix [mm] A\in\IZ^{nxn} [/mm] genau dann in [mm] IZ^{nxn} [/mm] invertierbar ist, wenn [mm] det(A)=\pm1 [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey,
Ist meine erste Frage in diesem Forum.
Ich habe mir gedacht, das über die Adjunkte A' von A zu zeigen, denn [mm] A^{-1} [/mm] berechnet sich durch:
[mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*A'
[/mm]
Da die Adjunkte sich durch die Operetionen +,-,* berechnet, ist [mm] A'\in\IZ^{nxn}, [/mm] wenn [mm] A\in\IZ^{nxn}.
[/mm]
Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass immer mindestens ein Eintrag von A' nicht restlos in [mm] \IZ^{nxn} [/mm] durch det(A) teilbar ist.
Und hier stockt es jetzt leider. Ich habe da irgendwie keine so rechte Idee, warum das so sein muss.
Danke schon mal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Do 13.01.2011 | | Autor: | Sigma |
Hallo diddy449,
schöne Idee, leider wie du schon siehst schwer beweisbar.
Zeige doch einfach, das für alle [mm] $A\in\IZ^{nxn}$ [/mm] mit $ [mm] det(A)=\pm1 [/mm] $ gilt:
[mm] $det(A*A^{-1})=det(A)*det(A^{-1})=det(E)=1$
[/mm]
mfg sigma
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo diddy449,
>
> schöne Idee, leider wie du schon siehst schwer beweisbar.
>
> Zeige doch einfach, das für alle [mm]A\in\IZ^{nxn}[/mm] mit
> [mm]det(A)=\pm1[/mm] gilt:
>
> [mm]det(A*A^{-1})=det(A)*det(A^{-1})=det(E)=1[/mm]
Was soll der Blödsinn ?
Die Formel
[mm]det(A*A^{-1})=det(A)*det(A^{-1})=det(E)=1[/mm]
gilt doch für jede invertierbare Matrix A !!
Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass
[mm] $det(A\cdot [/mm] B) = det [mm] A\cdot [/mm] det B$ für alle [mm] $n\times [/mm] n$ -Matrizen A und B.
FRED
>
> mfg sigma
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Do 13.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Wieso nicht einfach mal bei einer 2x2 Matrix versuchen eine Vorgehensweise zu finden...?
A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Die Inverse (für 2x2) kann man ja direkt so schreiben: [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ d & -b \\ -c & a }*\bruch{1}{a*d - b*c}
[/mm]
[mm] \bruch{a}{a*d - b*c} \in \IZ
[/mm]
[mm] \bruch{b}{a*d - b*c} \in \IZ
[/mm]
[mm] \bruch{c}{a*d - b*c} \in \IZ
[/mm]
[mm] \bruch{d}{a*d - b*c} \in \IZ
[/mm]
und jetzt mit kgV oder solchen Dingen zeigen dass das nicht für alle Brüche sein kann dass sie in [mm] \IZ [/mm] sind.
Und zum verallgemeinern dann für die allgemeine Determinante anwenden...- viel Spass!
Gruss
|
|
|
|
