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Forum "Algebra" - Inverse eines Polynoms
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Inverse eines Polynoms: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Sa 07.01.2012
Autor: Joan2

Hallo,

ich versuche gerade einen Algorithmus nach zu vollziehen. Ein Schritt darin besteht in der Bestimmung des Inversen eines Polynoms.

Ein Beispiel habe ich dazu gefunden, aber nicht nachvollziehen können.
Da heißt es:

Gegeben: $p=3, [mm] R_p [/mm] =  [mm] (Z/Z_3)[x]/(x^3)$ [/mm] und $f(x) = [mm] x^2 [/mm] + 1$.
Das Inverse dazu ist [mm] $F_3(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2x + 2$

Wenn ich [mm] $F_3$ [/mm] betrachte, berechne ich doch modulo [mm] $x^2 [/mm] + x + 1$?

[mm] $(x^2 [/mm] + [mm] 1):(x^2 [/mm] + x + 1) = 1 -x mod 3 = 1+2x mod 3$

Wenn es das Inverse sein soll, muss doch genau 1 rauskommen? Oder habe ich was falsch verstanden???

Grüße
Joan


        
Bezug
Inverse eines Polynoms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 So 08.01.2012
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>
> ich versuche gerade einen Algorithmus nach zu vollziehen.
> Ein Schritt darin besteht in der Bestimmung des Inversen
> eines Polynoms.
>  

>Gegeben: [mm]p=3, R_p = (Z/Z_3)[x]/(x^3)[/mm] und [mm]f(x) = x^2 + 1[/mm].

> Das Inverse dazu ist [mm]F_3(x) = x^2 + 2x + 2[/mm]

Nein!

>  
> Wenn ich [mm]F_3[/mm] betrachte, berechne ich doch modulo [mm]x^2 + x + 1[/mm]?
>  
> [mm](x^2 + 1):(x^2 + x + 1) = 1 -x mod 3 = 1+2x mod 3[/mm]
>  
> Wenn es das Inverse sein soll, muss doch genau 1
> rauskommen? Oder habe ich was falsch verstanden???

Ja, hast du: Das Produkt, nicht der Quotient muss 1 ergeben.

Das Inverse zu [mm] 1+x^2 [/mm] ist [mm] 1+x^2 [/mm] selber:

[mm] (1+x^2)(1+x^2) [/mm] = 1 + 2 [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^4. [/mm]
Setze x=0 ein, du erhältst 1.
Setze x=1 ein, du erhältst 1+2+1=3+1=1 mod 3.
Setze x=2 ein, du erhältst 1+8+16=1+24=1 mod 3.
Setze x=3 ein, du erhältst 1, denn 3 entspricht wieder 0.


>  
> Grüße
>  Joan
>  


Bezug
                
Bezug
Inverse eines Polynoms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:36 Di 10.01.2012
Autor: Joan2

Vielen Dank. Der Hint hat mir den Denkkick gegeben :)

Grüße

Joan

Bezug
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