Inverse berechnen mit Mod < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Di 19.11.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | | [mm] A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
10 & 21 & 7
\end{pmatrix} [/mm] Berechnen Sie die inverse von A mod 26 |
Hallo,
als erstes habe ich die erste Zeile * 4 genommen dann II-I dann die erste zeile * 10 und III-I
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 | 1 & 0 & 0 \\
0 & 23 & 20 | 22 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3| 16 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
dann die dritte Zeile * 23 und dann III-II
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 | 1 & 0 & 0 \\
0 & 23 & 20 | 22 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 23| 8 & 25 & 23
\end{pmatrix} [/mm]
ist es bis hierhin richtig?
Mit freundlichen Grüßen
capri
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:22 Di 19.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
10 & 21 & 7
\end{pmatrix}[/mm]
> Berechnen Sie die inverse von A mod 26
> Hallo,
>
> als erstes habe ich die erste Zeile * 4 genommen dann II-I
Das ist ok
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\
4 & 5 & 6 & | & 0 & 1 & 0 \\
10 & 21 & 7 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
Die Multiplikation [mm] I\cdot4 [/mm] führt zu
[mm]\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 & | & 4 & 0 & 0 \\
4 & 5 & 6 & | & 0 & 1 & 0 \\
10 & 21 & 7 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
I-II, beachte dass 0-1=-1, aber -1 bei der Division durch 26 den Rest 25 lässt, daher ergibt sich
[mm]\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 & | & 4 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 6 & | & 4 & 25 & 0 \\
10 & 21 & 7 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
[mm] I\cdot2,5 [/mm] auch hier die Modulo beachten 30mod26=4
[mm]\begin{pmatrix} 10 & 20 & \red{4} & | & 10 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 6 & | & 4 & 25 & 0 \\
10 & 21 & 7 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
I-III, beachte auch hier -1mod26=25 und -3mod26=23
[mm]\begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 6 & | & 4 & 25 & 0 \\
0 & 25 & 23 & | & 10 & 0 & 25
\end{pmatrix}[/mm]
Nun wieder du.
> dann die erste zeile * 10 und III-I
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 | 1 & 0 & 0 \\
0 & 23 & 20 | 22 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3| 16 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> dann die dritte Zeile * 23 und dann III-II
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 | 1 & 0 & 0 \\
0 & 23 & 20 | 22 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 23| 8 & 25 & 23
\end{pmatrix}[/mm]
>
> ist es bis hierhin richtig?
Nein, du hast das mod26 nicht beachtet.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> capri
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 19.11.2013 | | Autor: | capri |
$ [mm] \begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 6 & | & 4 & 25 & 0 \\ 0 & 25 & 23 & | & 10 & 0 & 25 \end{pmatrix} [/mm] $
dann würde ich die zweite zeile *25 und die dritte zeile *3 dann voneinander abziehen und erhalte
$ [mm] \begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 18 & 0 & 23 \end{pmatrix} [/mm] $
richtig? :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Di 19.11.2013 | | Autor: | papilio |
> [mm]\begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 6 & | & 4 & 25 & 0 \\ 0 & 25 & 23 & | & 10 & 0 & 25 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dann würde ich die zweite zeile *25 und die dritte zeile
> *3 dann voneinander abziehen und erhalte
>
> [mm]\begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 18 & 0 & 23 \end{pmatrix}[/mm]
>
Deine Lösung ist nicht ganz richtig, kann es sein, dass du die rechte Seite beim subtrahieren der beiden Zeilen vergessen hast?!
Wenn ich jetzt die zweite Zeile * 25 mod 26 rechne und die dritte Zeilte * 3 mod 26, dann kommt folgendes raus:
[mm]\begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 23 & 17 & | & 4 & 0 & 23 \end{pmatrix}[/mm]
Nun subtrahiere ich die dritte von der zweiten Zeile
[mm]\begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 18 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
Weißt du, wie du nun weiter an deiner Inverse rechnest?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mi 20.11.2013 | | Autor: | capri |
$ [mm] \begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 18 & 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] $
jetzt muss ich doch den "umgekehrten Gauß-Algorithmus" anwenden. Sprich
die erste mit der zweiten Zweile dann die erste mit der dritten Zeile dann die mitte wieder mit ersten und der zweiten zeile oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mi 20.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]\begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 18 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> jetzt muss ich doch den "umgekehrten Gauß-Algorithmus"
> anwenden. Sprich
> die erste mit der zweiten Zweile dann die erste mit der
> dritten Zeile dann die mitte wieder mit ersten und der
> zweiten zeile oder?
>
> LG
Ja, und zwar so, dass über der Diagomalen Nullen auftauchen, also
[mm] $20\cdot II-3\cdot [/mm] III $ (ersetze damit dann II)
und
[mm] $3\cdot I-4\cdot [/mm] III$ (ersetze damit dann I)
Danach dann die neuen I und II passend verarbeiten.
Beachte die mod26-Bedingung.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mi 20.11.2013 | | Autor: | capri |
Ich habe jetzt:
$ [mm] \begin{pmatrix} 18 & 0 & 0 & | & 0 & 18 & 18 \\ 0 & 9 & 0 & | & 8 & 17 & 8 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix} [/mm] $
zu den rechen operationen als erstes habe ich die erste Zeile *5 gemacht sodass ich bei beiden 20 habe dann subtrahiert. dann hab ich die dritte zeile *20 und die zweite zeile mal 3. dann ganz am ende habe ich die erste zeile mal 17 und die zweite zeile mal 25 genommen und subtrahiert.
ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mi 20.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ich habe jetzt:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 18 & 0 & 0 & | & 0 & 18 & 18 \\ 0 & 9 & 0 & | & 8 & 17 & 8 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> zu den rechen operationen als erstes habe ich die erste
> Zeile *5 gemacht sodass ich bei beiden 20 habe dann
> subtrahiert. dann hab ich die dritte zeile *20 und die
> zweite zeile mal 3. dann ganz am ende habe ich die erste
> zeile mal 17 und die zweite zeile mal 25 genommen und
> subtrahiert.
>
> ist das richtig?
Zeige mal ein bisschen mehr deiner Rechnungen.
[mm] \begin{pmatrix} 10 & 20 & 4 & | & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 18 & 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] I\cdot3;III\cdot4
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 4 & 12 & 12 & | & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 12 & | & 20 & 4 & 12 \end{pmatrix} [/mm]
I-III
[mm] \begin{pmatrix} 4 & 12 & 0 & | & 10 & 22 & 14 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 12 & | & 20 & 4 & 12 \end{pmatrix} [/mm]
III:4;I:2
[mm] \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & | & 5 & 11 & 7 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm]
Nun wieder du.
MfG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 20.11.2013 | | Autor: | capri |
$ [mm] \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & | & 5 & 11 & 7 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] $
die II*3 und die dritte * 2
$ [mm] \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & | & 5 & 11 & 7 \\ 0 & 69 & 60 & | & 66 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 60 & | & 100 & 20 & 60 \end{pmatrix} [/mm] $
mod 26
$ [mm] \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & | & 5 & 11 & 7 \\ 0 & 17 & 8 & | & 14 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix} [/mm] $
dann II-III
$ [mm] \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & | & 5 & 11 & 7 \\ 0 & 17 & 0 & | & 18 & 9 & 18 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix} [/mm] $
dann die erste zeile *17 und die zweite zeile mal 6:
$ [mm] \begin{pmatrix} 34 & 102 & 0 & | & 85 & 187 & 119 \\ 0 & 102 & 0 & | & 108 & 54 & 108 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix} [/mm] $
mod 26:
$ [mm] \begin{pmatrix} 8 & 24 & 0 & | & 7 & 5 & 15 \\ 0 & 24 & 0 & | & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix} [/mm] $
dann I-II:
$ [mm] \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 & | & 3 & 3 & 9 \\ 0 & 24 & 0 & | & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix} [/mm] $
so ist das jetzt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Mi 20.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
So kann man das wunderbar nachvollziehen
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & | & 5 & 11 & 7 \\ 0 & 23 & 20 & | & 22 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & | & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> die II*3 und die dritte * 2
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & | & 5 & 11 & 7 \\ 0 & 69 & 60 & | & 66 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 60 & | & 100 & 20 & 60 \end{pmatrix}[/mm]
>
> mod 26
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & | & 5 & 11 & 7 \\ 0 & 17 & 8 & | & 14 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dann II-III
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & | & 5 & 11 & 7 \\ 0 & 17 & 0 & | & 18 & 9 & 18 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dann die erste zeile *17 und die zweite zeile mal 6:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 34 & 102 & 0 & | & 85 & 187 & 119 \\ 0 & 102 & 0 & | & 108 & 54 & 108 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> mod 26:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 8 & 24 & 0 & | & 7 & 5 & 15 \\ 0 & 24 & 0 & | & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dann I-II:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 & | & 3 & 3 & 9 \\ 0 & 24 & 0 & | & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 8 & | & 22 & 20 & 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> so ist das jetzt richtig?
Das stimmt so, ja.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 20.11.2013 | | Autor: | capri |
ok :D
nun ein anderes Problem. wenn ich sagen wir mal die erste zeile durch 8 teilen möchte. habe ich ja 3:8 als bruch darf ich das nicht aufschreiben. wie mache ich das? Ich habe von einem kollegen gehört "erweiterter euklidischer Algorithmus." stimmt das?
Wenn ja wie wende ich es an?
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> ok :D
>
> nun ein anderes Problem. wenn ich sagen wir mal die erste
> zeile durch 8 teilen möchte.
Hallo,
für dieses Vorhaben sehe ich rabenschwarz:
Du rechnest mod 26, und wenn Du 8 invertieren möchtest, suchst Du ein x mit
8x=1 mod 26
<==>
8x=1+k*26 für ein k.
Das wird wohl nicht klappen... Die 8 ist nicht invertierbar.
Aufgrund der Determinante der Ausgangsmatrix sollte Deine Matrix aber invertierbar sein.
Irgendwo im Verlaufe der Rechnungen wird also ein Fehler passiert sein.
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Prinzipiell findet man Inverse modulo irgendwas mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. Es stimmt also, was die Kommilitonen sagen.
Suchst Du z.B. mod 26 das inverse von 3, so bestimmst Du mit dem Algorithmus r,s so,
daß r*3+s*26=1 ergibt.
r ist dann das Inverse von 3.
LG Angela
> habe ich ja 3:8 als bruch
> darf ich das nicht aufschreiben. wie mache ich das? Ich
> habe von einem kollegen gehört "erweiterter euklidischer
> Algorithmus." stimmt das?
> Wenn ja wie wende ich es an?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mi 20.11.2013 | | Autor: | capri |
hallo,
habe ich mich jetzt verrechnet oder? und zweitens wie wende ich denn diesen Algorithmus an, habe es nicht verstanden wie du es formuliert hast.
LG
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> hallo,
>
> habe ich mich jetzt verrechnet oder?
Hallo,
ja.
Einen gravierenden Fehler habe ich angemerkt, ob es weitere gibt, habe ich nicht nachgesehen.
> und zweitens wie wende
> ich denn diesen Algorithmus an, habe es nicht verstanden
> wie du es formuliert hast.
Ich habe Dir ja auch nicht erklärt, wie der Algorithmus geht, denn ich gehe davon aus, daß Du ihn Dir im Eigenstudium aneignest.
Bei der wikipedia ist ein Beispiel vorgerechnet, dort wird ggT(78,99) bestimmt und anschließend als
ggT(78,99)=r*78+s*99 geschrieben.
Rechne dort mal mit.
Bedenke: invertierbar modulo m sind nur solche Zahlen, die zu m teilerfremd sind.
So ist 3 mod 26 invertierbar.
Wende den erweiterten eukl. Alg. auf 3 und 26 an.
Zunächst wird der ggT bestimmt, der ist =1, und dann bekommst Du "rückwärts" die Darstellung 1=r*3+s*26. r ist das Inverse zur 3.
Versuch's mal. 9 muß herauskommen am Ende.
LG Angela
>
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mi 20.11.2013 | | Autor: | capri |
ok.
Wo ist denn mein Fehler? dann schaue ich mal nach und verbessere es.
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> ok.
>
> Wo ist denn mein Fehler?
Hallo,
zu einem Fehler habe ich eine Mitteilung geschrieben, weil er wirklich fundamental ist.
Ob es noch andere gibt, weiß ich nicht. Ich habe nicht danach gesucht.
Rechne doch einfach nochmal...
Oder welche Hilfe erwartest Du jetzt?
LG Angela
> dann schaue ich mal nach und
> verbessere es.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:55 Mi 20.11.2013 | | Autor: | angela.h.b. |
>
> [mm]I\cdot2,5[/mm]
Hallo Marius,
was meinst Du denn mit 2.5?
Das scheint mir eine ziemlich schlechte Idee zu sein...
LG Angela
>auch hier die Modulo beachten 30mod26=4
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} 10 & 20 & \red{4} & | & 10 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 6 & | & 4 & 25 & 0 \\
10 & 21 & 7 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
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