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Forum "Funktionen" - Inverse Funktion berechnen
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Inverse Funktion berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Do 14.01.2010
Autor: ms2008de

Aufgabe
Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion f an mit f(x,y)= [mm] exp(x)*cos(y)*e_{1} [/mm] + [mm] exp(x)*sin(y)*e_{2}, [/mm] mit (x,y) [mm] \in \IR^2 (e_{1}, e_{2} [/mm] bezeichnen die Einheitsvektoren in [mm] \IR^2) [/mm]

Hallo,
also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a und (ii) exp(x)*sin(y)=:b.
Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und addiert, sodass ich auf exp(2x)= [mm] a^2 +b^2 [/mm] kam, (da ja [mm] sin^2(y) +cos^2(y) [/mm] =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2 geteilt und kam somit auf x= [mm] ln(a^2 +b^2)/2. [/mm]
Wenn ich das nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y= [mm] cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}). [/mm]
Würde ich nun aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y= [mm] sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}). [/mm]
Was ist da nun richtig von beidem? [mm] cos^{-1} [/mm] und [mm] sin^{-1} [/mm] haben doch 2 verschiedene Wertebereiche...?
Die inverse Funktion wäre somit [mm] \overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2} [/mm] bzw. = [mm] =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}. [/mm]
Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0) passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht definiert hab?
Wäre euch um jede Hilfe dankbar.

Viele Grüße

        
Bezug
Inverse Funktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Do 14.01.2010
Autor: MathePower

Hallo ms2008de,

> Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion
> f an mit f(x,y)= [mm]exp(x)*cos(y)*e_{1}[/mm] + [mm]exp(x)*sin(y)*e_{2},[/mm]
> mit (x,y) [mm]\in \IR^2 (e_{1}, e_{2}[/mm] bezeichnen die
> Einheitsvektoren in [mm]\IR^2)[/mm]
>  Hallo,
>  also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a und (ii)
> exp(x)*sin(y)=:b.
>  Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und addiert,
> sodass ich auf exp(2x)= [mm]a^2 +b^2[/mm] kam, (da ja [mm]sin^2(y) +cos^2(y)[/mm]
> =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2
> geteilt und kam somit auf x= [mm]ln(a^2 +b^2)/2.[/mm]
>  Wenn ich das
> nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y=
> [mm]cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
>  Würde ich nun
> aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y=
> [mm]sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
>  Was ist da nun
> richtig von beidem? [mm]cos^{-1}[/mm] und [mm]sin^{-1}[/mm] haben doch 2
> verschiedene Wertebereiche...?


Bilde hier den Quotienten [mm]\bruch{b}{a}[/mm]


>  Die inverse Funktion wäre somit [mm]\overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}[/mm]
> bzw. = [mm]=(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}.[/mm]
>  
> Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0)
> passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht
> definiert hab?


Bildet die Funktion überhaupt auf diesen Punkt ab?


>  Wäre euch um jede Hilfe dankbar.
>  
> Viele Grüße


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Inverse Funktion berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Do 14.01.2010
Autor: ms2008de


> Hallo ms2008de,
>  
> > Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion
> > f an mit f(x,y)= [mm]exp(x)*cos(y)*e_{1}[/mm] + [mm]exp(x)*sin(y)*e_{2},[/mm]
> > mit (x,y) [mm]\in \IR^2 (e_{1}, e_{2}[/mm] bezeichnen die
> > Einheitsvektoren in [mm]\IR^2)[/mm]
>  >  Hallo,
>  >  also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a und
> (ii)
> > exp(x)*sin(y)=:b.
>  >  Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und
> addiert,
> > sodass ich auf exp(2x)= [mm]a^2 +b^2[/mm] kam, (da ja [mm]sin^2(y) +cos^2(y)[/mm]
> > =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2
> > geteilt und kam somit auf x= [mm]ln(a^2 +b^2)/2.[/mm]
>  >  Wenn ich
> das
> > nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y=
> > [mm]cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
>  >  Würde ich
> nun
> > aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y=
> > [mm]sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
>  >  Was ist da
> nun
> > richtig von beidem? [mm]cos^{-1}[/mm] und [mm]sin^{-1}[/mm] haben doch 2
> > verschiedene Wertebereiche...?
>  
>
> Bilde hier den Quotienten [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
>  

Sorry, aber wie meinst du das?

>
> >  Die inverse Funktion wäre somit [mm]\overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}[/mm]

> > bzw. = [mm]=(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}.[/mm]
>  
> >  

> > Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0)
> > passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht
> > definiert hab?
>  
>
> Bildet die Funktion überhaupt auf diesen Punkt ab?
>  

Anscheinend nicht , denn dann müsste [mm] e^x*(sin(y) [/mm] +cos(y)) 0 werden, dass [mm] e^x [/mm] nicht null werden kann ist mir klar, aber wieso kann sin(y)+cos(y) nicht 0 werden?

>
> >  Wäre euch um jede Hilfe dankbar.

>  >  
> > Viele Grüße
>
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                        
Bezug
Inverse Funktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Do 14.01.2010
Autor: MathePower

Hallo ms2008de,


> > Hallo ms2008de,
>  >  
> > > Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion
> > > f an mit f(x,y)= [mm]exp(x)*cos(y)*e_{1}[/mm] + [mm]exp(x)*sin(y)*e_{2},[/mm]
> > > mit (x,y) [mm]\in \IR^2 (e_{1}, e_{2}[/mm] bezeichnen die
> > > Einheitsvektoren in [mm]\IR^2)[/mm]
>  >  >  Hallo,
>  >  >  also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a und
> > (ii)
> > > exp(x)*sin(y)=:b.
>  >  >  Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und
> > addiert,
> > > sodass ich auf exp(2x)= [mm]a^2 +b^2[/mm] kam, (da ja [mm]sin^2(y) +cos^2(y)[/mm]
> > > =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2
> > > geteilt und kam somit auf x= [mm]ln(a^2 +b^2)/2.[/mm]
>  >  >  
> Wenn ich
> > das
> > > nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y=
> > > [mm]cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
>  >  >  Würde
> ich
> > nun
> > > aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y=
> > > [mm]sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
>  >  >  Was ist
> da
> > nun
> > > richtig von beidem? [mm]cos^{-1}[/mm] und [mm]sin^{-1}[/mm] haben doch 2
> > > verschiedene Wertebereiche...?
>  >  
> >
> > Bilde hier den Quotienten [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
>  >  
> Sorry, aber wie meinst du das?


Die Funktion lautet ausgeschrieben so:

[mm]f\left(x,y\right)=\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right*e_{1}+\operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)*e_{2}=\pmat{\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right) \\ \operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)}[/mm]

Dann ist

[mm]b=\operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)[/mm]

[mm]a=\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right)[/mm]


>  >

> > >  Die inverse Funktion wäre somit [mm]\overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}[/mm]

> > > bzw. = [mm]=(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0)
> > > passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht
> > > definiert hab?
>  >  
> >
> > Bildet die Funktion überhaupt auf diesen Punkt ab?
>  >  
> Anscheinend nicht , denn dann müsste [mm]e^x*(sin(y)[/mm] +cos(y))
> 0 werden, dass [mm]e^x[/mm] nicht null werden kann ist mir klar,
> aber wieso kann sin(y)+cos(y) nicht 0 werden?


Siehe oben.


> >
> > >  Wäre euch um jede Hilfe dankbar.

>  >  >  
> > > Viele Grüße
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
Inverse Funktion berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Do 14.01.2010
Autor: ms2008de


> Hallo ms2008de,
>  
>
> > > Hallo ms2008de,
>  >  >  
> > > > Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion
> > > > f an mit f(x,y)= [mm]exp(x)*cos(y)*e_{1}[/mm] + [mm]exp(x)*sin(y)*e_{2},[/mm]
> > > > mit (x,y) [mm]\in \IR^2 (e_{1}, e_{2}[/mm] bezeichnen die
> > > > Einheitsvektoren in [mm]\IR^2)[/mm]
>  >  >  >  Hallo,
>  >  >  >  also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a
> und
> > > (ii)
> > > > exp(x)*sin(y)=:b.
>  >  >  >  Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und
> > > addiert,
> > > > sodass ich auf exp(2x)= [mm]a^2 +b^2[/mm] kam, (da ja [mm]sin^2(y) +cos^2(y)[/mm]
> > > > =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2
> > > > geteilt und kam somit auf x= [mm]ln(a^2 +b^2)/2.[/mm]
>  >  >  >

>  
> > Wenn ich
> > > das
> > > > nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y=
> > > > [mm]cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
>  >  >  >  
> Würde
> > ich
> > > nun
> > > > aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y=
> > > > [mm]sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
>  >  >  >  Was
> ist
> > da
> > > nun
> > > > richtig von beidem? [mm]cos^{-1}[/mm] und [mm]sin^{-1}[/mm] haben doch 2
> > > > verschiedene Wertebereiche...?
>  >  >  
> > >
> > > Bilde hier den Quotienten [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
>  >  >  
> > Sorry, aber wie meinst du das?
>  
>
> Die Funktion lautet ausgeschrieben so:
>  
> [mm]f\left(x,y\right)=\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right*e_{1}+\operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)*e_{2}=\pmat{\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right) \\ \operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)}[/mm]
>  
> Dann ist
>
> [mm]b=\operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)[/mm]
>  
> [mm]a=\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right)[/mm]
>  
>

Ah, dann wäre y= [mm] cot(\bruch{b}{a}) [/mm] oder eben [mm] tan(\bruch{a}{b}). [/mm]
Versteh aber noch immer nicht, wo der Fehler in meiner ursprünglichen Rechnung lag, wo ich auf Arcussinus, bzw. Arcuskosinus kam...?
Könnt mir vielleicht das noch jemand bitte erklären?

> >  >

> > > >  Die inverse Funktion wäre somit [mm]\overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}[/mm]

> > > > bzw. = [mm]=(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0)
> > > > passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht
> > > > definiert hab?
>  >  >  
> > >
> > > Bildet die Funktion überhaupt auf diesen Punkt ab?
>  >  >  
> > Anscheinend nicht , denn dann müsste [mm]e^x*(sin(y)[/mm] +cos(y))
> > 0 werden, dass [mm]e^x[/mm] nicht null werden kann ist mir klar,
> > aber wieso kann sin(y)+cos(y) nicht 0 werden?
>
>
> Siehe oben.
>  
>
> > >
> > > >  Wäre euch um jede Hilfe dankbar.

>  >  >  >  
> > > > Viele Grüße
> > >
> > >
> > > Gruss
>  >  >  MathePower
> >
>  
>
> Gruss
>  MathePower  

Viele Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Inverse Funktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Fr 15.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!


> Ah, dann wäre y= [mm]cot(\bruch{b}{a})[/mm] oder eben
> [mm]tan(\bruch{a}{b}).[/mm]
>  Versteh aber noch immer nicht, wo der Fehler in meiner
> ursprünglichen Rechnung lag, wo ich auf Arcussinus, bzw.
> Arcuskosinus kam...?
>  Könnt mir vielleicht das noch jemand bitte erklären?

Kein prinzipieller Fehler, nur eine Mehrdeutigkeit. Du hast aus

(*) [mm] \cos y = \bruch{a}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm]

auf

[mm] y = \arccos \bruch{a}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm]

geschlossen. Das ist nur dann richtig, wenn du $y$ auf das Intervall [mm] $[0,\pi)$ [/mm] einschränkst, denn nur dann ist der Cosinus eineindeutig und damit umkehrbar. Zum Beispiel ist zu jedem möglichen Wert von $y$ auch $-y$ eine Lösung der Gleichung (*).

Das Gleiche gilt für die zweite Gleichung mit [mm] $\sin [/mm] y$; beide Gleichungen zusammen legen $y$ eindeutig im Interval [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] fest. Aber wenn du auf $y$ ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von [mm] $2\pi$ [/mm] draufaddierst, bekommst du wieder einen möglichen Wert von $y$.

Dasselbe Problem tritt auf, wenn du von kartesischen Koordinaten $(x,y)$ in Polarkoordinaten $r$ und [mm] $\phi$ [/mm] umrechnest. $r$ ist eindeutig bestimmt, aber aus [mm] $x=r\cos \phi$ [/mm] bekommst du [mm] $\phi$ [/mm] nicht eindeutig heraus.

Die Darstellung [mm] $y=\arctan\bruch{b}{a}$ [/mm] ist da auch nicht besser; dadurch bekommst du sogar nur Werte im Intervall [mm] $(-\pi/2,+\pi/2)$ [/mm] und du musst a) das Vorzeichen von $a$ und $b$ berücksichtigen, um den richtigen Wert von y im Intervall [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] auszurechnen, und den Fall $a=0$ getrennt behandeln: je nach Vorzeichen von $b$ ergibt das [mm] $y=\pi/2 [/mm] + [mm] 2k\pi$ [/mm] oder [mm] $y=-\pi/2+2k\pi$. [/mm]

  Viele Grüße
    Rainer

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