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| Aufgabe | Sei R ein Hauptidealtring und M [mm] \not= [/mm] 0 ein endlich erzeugter R-Modul mit Invariantenkette I(M): [mm] I_1 \supset I_2 \supset [/mm] ... [mm] \supset I_n
[/mm]
Zeige, dass n die minimale Anzahl von Erzeugern des R-Moduls M ist. |
Hallo,
ich weiß, dass diese Aufgabe eine Anwendung des Hauptsatzes ist, aber ich weiß nicht genau, wie ich hier anfangen soll, um die Behauptung zu zeigen.
Nach dem Hauptsatz gibt es Ideale [mm] I_1,..., I_n \subset [/mm] R mit M [mm] \cong R/I_1 \oplus [/mm] ... [mm] \oplus R/I_n [/mm] und es gibt so eine Invariantenkette.
Dann gibt es noch [mm] (x_1,..., x_n) \in M^{n} [/mm] sowie [mm] (c_1,..., c_n) \in R^{n}
[/mm]
mit [mm] I_i [/mm] = [mm] (c_i) \subset [/mm] R. Es gilt [mm] c_1 [/mm] | [mm] c_2,...,c_i-1 [/mm] | [mm] c_i \forall [/mm] i [mm] \le [/mm] n, und [mm] \forall [/mm] i: [mm] c_i x_i [/mm] = 0.
M ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, hat also eine endliche Anzahl von Erzeugern. Wie kann ich aber zeigen, dass n minimal ist?
Freue mich, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke,
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Fr 29.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> Sei R ein Hauptidealtring und M [mm]\not=[/mm] 0 ein endlich
> erzeugter R-Modul mit Invariantenkette I(M): [mm]I_1 \supset I_2 \supset[/mm]
> ... [mm]\supset I_n[/mm]
>
> Zeige, dass n die minimale Anzahl von Erzeugern des
> R-Moduls M ist.
>
> Hallo,
> ich weiß, dass diese Aufgabe eine Anwendung des
> Hauptsatzes ist, aber ich weiß nicht genau, wie ich hier
> anfangen soll, um die Behauptung zu zeigen.
Was genau habt ihr fuer den Hauptsatz gezeigt?
- Wie man die Invariantenkette konstruiert, d.h. ueber die Smith-Form einer Matrix mit $n'$ Zeilen, wobei $n'$ die Anzahl der Generatoren ist? Dabei kommt ja heraus, dass die Invariantenkette [mm] $\le [/mm] n'$ Elemente hat (da man nicht umbedingt alle Zeilen der Smith-Form braucht, die wo eine 1 drinnensteht fallen weg).
- Das die Invariantenkette eindeutig ist? (Also insbesondere die Laenge einer solchen?)
Damit ist das ganze dann recht einfach: Wenn du Erzeuger [mm] $x_1, \dots, x_m$ [/mm] hast, kannst du daraus eine Matrix $M$ aufstellen (Relationsmatrix) mit $m$ Spalten so, dass mit $L := [mm] \{ M x \mid x \in R^\ell \}$ [/mm] gilt $M [mm] \cong R^m [/mm] / L$.
Insbesondere bekommst du daraus eine Invariantenkette der Laenge [mm] $\le [/mm] m$.
Und da alle Invariantenketten die gleiche Laenge haben, ist die Erzeugeranzahl hier also groessergleich der Laenge einer jeden Invariantenkette.
Weiterhin ergibt der Isomorphismus $M [mm] \cong R/I_1 \times \dots \times R/I_n$ [/mm] ein Erzeugendensystem mit genau $n$ Elementen.
Somit ist die Zahl $n$ minimal.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort. > Hallo Anna
> Was genau habt ihr fuer den Hauptsatz gezeigt?
> - Wie man die Invariantenkette konstruiert, d.h. ueber
> die Smith-Form einer Matrix mit [mm]n'[/mm] Zeilen, wobei [mm]n'[/mm] die
> Anzahl der Generatoren ist? Dabei kommt ja heraus, dass die
> Invariantenkette [mm]\le n'[/mm] Elemente hat (da man nicht
> umbedingt alle Zeilen der Smith-Form braucht, die wo eine 1
> drinnensteht fallen weg).
> - Das die Invariantenkette eindeutig ist? (Also
> insbesondere die Laenge einer solchen?)
Von einer Smithform habe ich noch nie gehört. Der Beweis vom Hauptsatz geht über mehrere Seiten in meinem Skript. Aber die Smithform kommt da nicht vor.
Dass aber die Invariantenkette eindeutig ist, ist mir bekannt.
>
> Damit ist das ganze dann recht einfach: Wenn du Erzeuger
> [mm]x_1, \dots, x_m[/mm] hast, kannst du daraus eine Matrix [mm]M[/mm]
> aufstellen (Relationsmatrix) mit [mm]m[/mm] Spalten so, dass mit [mm]L := \{ M x \mid x \in R^\ell \}[/mm]
> gilt [mm]M \cong R^m / L[/mm].
> Insbesondere bekommst du daraus eine
> Invariantenkette der Laenge [mm]\le m[/mm].
Sind [mm] x_1,...., x_m [/mm] Erzeuger vom R-Modul M oder?
Das mit der Relationsmatrix hab ich noch nicht so ganz verstanden.
Du hast geschrieben: M [mm] \cong R^m [/mm] / L. Ist das M hier das Modul oder die Matrix?
Nach dem Hauptsatz gilt ja M [mm] \cong R/I_{1} \oplus [/mm] .... [mm] \oplus R/I_{n}, [/mm] wobei M der R-Modul ist.
Wieso bekomme ich daraus eine Invariantenkette der Länge m? Mir ist auch noch nicht so klar, wie das m und n zusammenhängt.
>
> Und da alle Invariantenketten die gleiche Laenge haben, ist
> die Erzeugeranzahl hier also groessergleich der Laenge
> einer jeden Invariantenkette.
>
> Weiterhin ergibt der Isomorphismus [mm]M \cong R/I_1 \times \dots \times R/I_n[/mm]
> ein Erzeugendensystem mit genau [mm]n[/mm] Elementen.
>
> Somit ist die Zahl [mm]n[/mm] minimal.
>
> LG Felix
Danke für deine Hilfe.
Lg, Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 06.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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