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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Di 12.02.2008 | | Autor: | DerTom |
| Aufgabe | geg.:
T ist die Periodendauer
w = 2 * Pi / T
f(x) = cos (2*w*T)
ges.:
[mm] \integral_{0}^{T}{f(x) dx} [/mm] |
Hallo,
ich überlege gerade warum ein Integral über eine Sinusfunktion über eine Periode "funktioniert" aber über zwei perioden null ist.
Ich kann das Integral ja ausrechnen und erhalte
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = sin (2*w*T) - sin 0
w ausgetauscht:
= sin (4 Pi)
Ok, das ist jetzt 0 und damit auch die Lösung.
Gibt es aber eine Art Gesetzmäßigkeit dass z. B. ein Cosinusintegral immer 0 ist wenn es über zwei Perioden geht?
Danke,
Tom
Zu den Cross-Postings: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> geg.:
> T ist die Periodendauer
> w = 2 * Pi / T
> f(x) = cos (2*w*T)
>
> ges.:
> [mm]\integral_{0}^{T}{f(x) dx}[/mm]
In deiner Formel fehlt das x (oder sollte es ein t sein)
Die Schwingungsgleichung (davon gehe ich mal aus ?!) lautet
[mm] y(t)=sin(\omega*t) [/mm] oder mit einer Phasenverschiebung eben auch
[mm] y(t)=cos(\omega*t) [/mm] . Mit [mm] \omega=2\pi/T [/mm] wird daraus
[mm] y=f(t)=cos(\bruch{2\pi}{T}*t)
[/mm]
Für die Stammfunktion gilt
[mm] F(t)=\bruch{T}{2*\pi}*sin(\bruch{2\pi}{T}*t) [/mm] .
Dein gesuchtes Integral ergibt F(T)-F(0)=0-0=0.
JEDES Intergal über eine volle Periode einer Sinis-oder Kosinusfunktion muss Null ergeben, weil die Stammfunktion (wieder eine Kosinus-oder Sinusfunktion) in einer vollen Periode jeweils gleich große Flächenstücke unter und über der x-Achse einschließt
> Hallo,
>
> ich überlege gerade warum ein Integral über eine
> Sinusfunktion über eine Periode "funktioniert" aber über
> zwei perioden null ist.
>
> Ich kann das Integral ja ausrechnen und erhalte
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = sin (2*w*T) - sin 0
>
> w ausgetauscht:
>
> = sin (4 Pi)
>
> Ok, das ist jetzt 0 und damit auch die Lösung.
> Gibt es aber eine Art Gesetzmäßigkeit dass z. B. ein
> Cosinusintegral immer 0 ist wenn es über zwei Perioden
> geht?
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> Danke,
> Tom
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> Zu den Cross-Postings: Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
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