Intervallschachtelung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 So 10.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich sitze grade an einer, meiner Meinung nach, ziemlich schweren Aufgabe und weiß mir nicht ganz zu helfen. Und mein Freund Google, sowie Vorlesungen und Bücher bringen mich gerade auch nicht weiter, da mir das Themengebiet neu ist..
Also erstmal die Aufgabe:
| Aufgabe | ist a im Rahmen 0<a<b sodefiniert man eine rekursiv 2 Zahlenfolge:
[mm] a_1 [/mm] , [mm] a_2... [/mm] und [mm] b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] ... durch [mm] a_1 [/mm] := a und [mm] b_1 [/mm] := b
und für n>1 mit n [mm] \in \IN
[/mm]
a_(n+1) := [mm] Harm(a_n ,b_n [/mm] ), [mm] b_n+1 [/mm] :=Arith( [mm] a_n ,b_n [/mm] )
Man zeige nun, dass die Intervalle:
[mm] I_n [/mm] = [mm] [a_n ,b_n [/mm] ], n [mm] \in \IN, [/mm] eine Intervallschachtelung bilden und das
[mm] \wurzel{ab} [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} I_n [/mm] |
so und ich würde ich jetzt sagen das der Intervall folgende Eigenschaften hat:
1. [mm] a_n^k \le [/mm] x [mm] \le b_n^k [/mm]
2. Die Länge des Intervalls wird festgelegt durch [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm]
aber wie kann ich jetzt mit Hilfe dieser Eigenschaften oder vielleicht auch durch einen ganz neuen Ansatz weitermachen?
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... ist a im Rahmen 0<a<1 so definiert ...
muss es hier nicht heißen:
... ist a im Rahmen [mm] 0
_______________________________________________________
Zeige mit vollst. Induktion:
[mm] a_n [/mm] < [mm] \underbrace{\wurzel{a_n*b_n}}_{= a_{n+1}}<\wurzel{a*b}<\underbrace{\bruch{a_n+b_n}{2}}_{=b_{n+1}}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
und was hat dies dann mit einer Intervallschachtelung bzw. dem geometrischen Mittel zu tuen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 11.11.2013 | | Autor: | abakus |
> und was hat dies dann mit einer Intervallschachtelung bzw.
> dem geometrischen Mittel zu tuen?
Das geometrische Mittel [mm] $\sqrt{ab}$ [/mm] wird zwischen wachsenden Werten der Folge [mm] $a_n$ [/mm] und fallenden Werten der Folge [mm] $b_n$ [/mm] immer enger eingequetscht. So etwas nennt man Intervallschachtelung.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke.
1. Frage:Zurück zu der vollständigen Induktion. Die Induktionsvorschrift kenn ich ja jetzt schon. Im Induktionsschritt wird "n" dann zu n+1"... aber wo beginne ich hier. Ich habe leider noch nie eine Induktion mit 4 Termen durchgeführt..
2. Frage: Wie setzt sich die von HJKweseleit vorgegebene Ungleichung zusammen...und wieso wird das harmonische Mittel durch [mm] \wurzel{a_n * b_n} [/mm] ersetzt? Wo ist da der Zusammenhang?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Wie man z.B. auch ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen kann, gilt (übertragen auf Deine Aufgabe):
$ [mm] \red{\bruch{2*a_n*b_n}{a_n+b_n}} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel{a_n*b_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{a_n+b_n}{2}$
[/mm]
Da hatte sich HJKweseleit wohl vertan.
Um das nun mittels vollständiger Induktion zu lösen, musst Du das in zwei Teilungleichungen auflösen und jeweils separat nachweisen:
(1) [mm] $\bruch{2*a_n*b_n}{a_n+b_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel{a_n*b_n}$
[/mm]
(2) [mm] $\wurzel{a_n*b_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{a_n+b_n}{2}$
[/mm]
Du musst also zwei vollständige Induktionen durchführen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Mo 11.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Alex!
>
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> Wie man z.B. auch
> hier
> nachlesen kann, gilt (übertragen auf Deine Aufgabe):
>
> [mm]\red{\bruch{2*a_n*b_n}{a_n+b_n}} \ \le \ \wurzel{a_n*b_n} \ \le \ \bruch{a_n+b_n}{2}[/mm]
>
> Da hatte sich HJKweseleit wohl vertan.
>
>
> Um das nun mittels vollständiger Induktion zu lösen,
> musst Du das in zwei Teilungleichungen auflösen und
> jeweils separat nachweisen:
>
> (1) [mm]\bruch{2*a_n*b_n}{a_n+b_n} \ \le \ \wurzel{a_n*b_n}[/mm]
>
> (2) [mm]\wurzel{a_n*b_n} \ \le \ \bruch{a_n+b_n}{2}[/mm]
>
> Du musst also zwei vollständige Induktionen durchführen.
Hallo Loddar,
mir fällt gerde auf, dass der mittlere Term der Kettenungleichung selbst das geometrische Mittel der beiden äußeren Terme ist.
Damit reicht ja eigentlich der einmalige Induktionsbeweis, dass
[mm]\red{\bruch{2*a_n*b_n}{a_n+b_n}} \ \le \ \bruch{a_n+b_n}{2}[/mm] gilt, denn das geometrische Mittel dieser beiden Terme liegt garantiert zwischen diesen.
Gruß Abakus
>
> Gruß
> Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:00 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
danke. ich bin dem Hinweis von Abakus gefolgt, komme aber leider an folgender Stelle nicht mehr weiter:
[mm] 4*a_n+1 *b_n+1 \le [/mm] a-n+1 [mm] *b_n+1
[/mm]
da n ja nur der Koeffizient ist, ist mir unklar wie ich hier weitermache bzw die Induktionsvorschrift einbringe...könnt ihr mir vielleicht nochmal weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 12.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Wenn Du den Tipp von abakus befolgst und die Ungleichung $ [mm] \bruch{2\cdot{}a_n\cdot{}b_n}{a_n+b_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{a_n+b_n}{2} [/mm] $ beweisen willst, geht es völlig ohne Induktion.
Du benötigst hier ausschließlich einige Äquivalenzumformungen.
Ansonsten solltest Du hier auch schrittweise vorrechnen, da Dein "Ergebnis" in keinster Weise nachvollziehbar ist.
Und für Indizes mit mehr als einem Zeichen verwende bitte geschweifte Klammern: a_{n+1} wird dann allgemein verständlich und eindeutig zu [mm] $a_{n+1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Wieso ist das geometrische Mittel denn genau in der Mitte der beiden Terme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mo 11.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Wieso ist das geometrische Mittel denn genau in der Mitte
> der beiden Terme?
Wer hat das behauptet?
"zwischen" ist doch nicht gleichbedeutend mit "genau in der Mitte".
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