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| Aufgabe | Im Körper [mm] \IQ [/mm] der rationalen Zahlen sei [mm] p_n [/mm] definiert als die größte natürliche
Zahl mit der Eigenschaft, dass [mm] p^2_n [/mm] ≤ [mm] 4^n [/mm] · 2; [mm] n\in\IN
[/mm]
ist sowie
[mm] I_n:=[p_n/2^n; p_{n}+1/2^n].
[/mm]
Man zeige, dass [mm] (I_n)_{\in\IN} [/mm] eine Intervallschachtelung ist, aber [mm] \bigcap_{n\in\IN} I_n=\emptyset [/mm] |
Hallo,
in der Vorlesung haben wir Intervallschachtelung wie folgt definiert:
(i) [mm] I_{n+1}\subset I_n
[/mm]
(ii) Für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] b_n-a_n<\epsilon.
[/mm]
Den Teil (i) hab ich schon bewiesen und zu zeigen, dass der Schnitt leer ist offensichtlich, da wir uns in [mm] \IQ [/mm] befinden und dort das Vollständigkeitsaxiom nicht erfüllt ist.
Für den Teil (ii) muss ich der Aufgabe nach beweisen das [mm] (p_{n}+1/2^n)-(p_n/2^n)<\epsilon. [/mm] Allerdings habe ich keine Idee, wie ich das anfangen soll. Wir haben in der letzten Vorlesung Konvergenz eingeführt und den Grenzwert. Ansonsten noch nichts. Ich wäre über eure Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Im Körper [mm]\IQ[/mm] der rationalen Zahlen sei [mm]p_n[/mm] definiert als
> die größte natürliche
> Zahl mit der Eigenschaft, dass [mm]p^2_n[/mm] ≤ [mm]4^n[/mm] · 2;
ist da [mm] $p_n^2 \le 4^n\red{\;*2\;}$ [/mm] gemeint? Das ist irgendwie komisch notiert,
deswegen frage ich nach...
> [mm]n\in\IN[/mm]
>
> ist sowie
>
> [mm]I_n:=[p_n/2^n; p_{n}+1/2^n].[/mm]
>
> Man zeige, dass [mm](I_n)_{\in\IN}[/mm] eine Intervallschachtelung
> ist, aber [mm]\bigcap_{n\in\IN} I_n=\emptyset[/mm]
>
> Hallo,
>
> in der Vorlesung haben wir Intervallschachtelung wie folgt
> definiert:
> (i) [mm]I_{n+1}\subset I_n[/mm]
> (ii) Für alle [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es
> ein [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]b_n-a_n<\epsilon.[/mm]
>
> Den Teil (i) hab ich schon bewiesen und zu zeigen, dass der
> Schnitt leer ist offensichtlich, da wir uns in [mm]\IQ[/mm] befinden
> und dort das Vollständigkeitsaxiom nicht erfüllt ist.
Das ist - mit Verlaub - eine ziemlich schwach(sinnig)e Begründung:
Wenn ich mir [mm] $I_n:=[\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2n},\;\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2n}\;]$ [/mm] angucke, habe ich auch eine
Intervallschachtelung, aber 'der Schnitt' (um Deine ungenaue
Ausdrucksweise mal einfach so zu übernehmen) ist nicht leer, er enthält
in wundersamer Weise die rationale Zahl [mm] $\tfrac{1}{2} \in \IQ$...
[/mm]
(Bevor Du fragst: Sage lieber klar und deutlich, dass Du "den Schnitt
über alle Intervalle" meinst!)
Du musst da schon mehr begründen: Angenommen, der Schnitt wäre nicht
leer...
> Für den Teil (ii) muss ich der Aufgabe nach beweisen das
> [mm](p_{n}+1/2^n)-(p_n/2^n)<\epsilon.[/mm] Allerdings habe ich keine
> Idee, wie ich das anfangen soll. Wir haben in der letzten
> Vorlesung Konvergenz eingeführt und den Grenzwert.
Schreibe mal bitte die Intervalle richtig, denn hier darf ich nun raten:
[mm] $$I_n:=[p_n/2^n; p_{n}+1/2^n]$$
[/mm]
kannst Du nicht meinen, denn das wäre zu lesen als
meinst Du damit wirklich
[mm] $$I_n:=[\tfrac{p_n}{2^n}; p_{n}+\tfrac{1}{2^n}]$$
[/mm]
??
Komischerweise rechnest Du trotzdem so, aber das macht keinen Sinn,
wenn [mm] $(I_n)_n$ [/mm] Intervallschachtelung sein soll.
Edit: Vergiss' den unsinnigen Satz oben, da habe ich nicht aufgepasst. Das
kann schon Sinn machen...
Steht da vielleicht
[mm] $$I_n:=[\tfrac{p_n}{2^n}; \tfrac{p_n+1}{2^n}]\,,$$
[/mm]
was Du dann wenigstens SO schreiben müsstest:
[mm] $$I_n:=[p_n/2^n; \red{(\;}p_{n}+1\red{\;)}/2^n]$$
[/mm]
??
Das würde Sinn machen, weil dann
[mm] $$\frac{p_n+1}{2^n}-\frac{p_n}{2^n}=\frac{1}{2^n} \to [/mm] 0...$$
Oder steht da was ganz anderes. Am liebsten wäre mir es gerade, Du
könntest den Link zum Aufgabenblatt liefern (vielleicht haben die ja auch
Klammern vergessen)...
Generell orientieren kannst Du Dich auch mal an ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia, Intervallschachtelung,
auch, wenn die Formulierung dort ein wenig anders zu Eurer ist. Die
Formulierungen sind aber äquivalent!
Edit: Trotzdem die Frage: Hast Du den Link zum Aufgabenblatt? Einfach,
weil hier auch schnell Verschreiber entstehen (können)...
P.P.S. Nimm' das Wort "schwachsinnige" nicht zu ernst, das habe ich nur
'spaßeshalber' eingebaut, weil die "schwache" Begründung oben eigentlich
gar keine Begründung für das ist, was Du begründen willst. Das "(sinnig)"
hat dafür gerade so schön da reingepaßt. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also ich gehe mal davon aus, dass Du die Intervalle richtig geschrieben hast.
Edit: Ne, hättest Du ja dann doch nicht, siehe unten!
Ihr hattet [mm] $p_n$ [/mm] als die größte ganze Zahl definiert, die
[mm] $$p_n^2 \le 4^n*2$$
[/mm]
erfüllt, ich hoffe, dass das stimmt.
Auch, wenn das Ganze 'jetzt ein wenig' vom Thema abweicht, aber hüpfen
wir mal von [mm] $\IQ$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] (wir sind unverschämt und wechseln einfach
zwischen den Paralleluniversen hin und her...). Dann gilt (in [mm] $\IR$!)
[/mm]
[mm] $$p_n=[\sqrt{2}*2^n]\,,$$
[/mm]
wobei $[ t [mm] ]:=\max\{z \in \IZ:\;\;z \le t\}$ [/mm] die Gaußklammer von $t [mm] \in \IR$ [/mm] sei.
Also gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;p_n \le \sqrt{2}*2^n \le p_n+1\,.$$
[/mm]
Das kannst Du jetzt erstmal zu Ende denken. Und dann besteht die Kunst
darin, das ganze [mm] "$\IQ$-gerecht" [/mm] zu übertragen/formulieren - etwa, indem man die
Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] ausnutzt.
Aber wenn ich mir das so ansehe, hast Du die [mm] $I_n$ [/mm] anscheinend alle richtig
notiert!
Und der Schnitt über alle [mm] $I_n$ [/mm] wird leer sein müssen, weil sonst [mm] "$\sqrt{2}$"
[/mm]
in ihm drinliegen müsste (hier besser gesagt: er enthielte eine rationale
Zahl, deren Quadrat [mm] $2\,$ [/mm] ergibt).
P.S. Tipp zur [mm] "$\IQ$-gerechten [/mm] Formulierung":
Sicher sind alle [mm] $p_n \ge [/mm] 0,$ also kannst Du [mm] $(\*)$ [/mm] wieder Quadrieren und erhältst
eine äquivalente - [mm] $\IQ$-Formulierungs-gerechte [/mm] - Ungleichung. Diese
beweist Du dann, und damit kommst Du zum Ziel!
P.P.S. Ich hatte mich eben verguckt, so wäre das Ganze viel zu umständlich.
Wenn die [mm] $I_n$ [/mm] definiert wären als
[mm] $$I_n:=[\tfrac{p_n}{2^n},\;\tfrac{p_n+1}{2^n}]\,,$$
[/mm]
so, wie es hier sein müßte, dann rechnest Du einfach
[mm] $$\frac{p_n+1}{2^n}-\frac{p_n}{2^n}=\frac{1}{2^n}$$
[/mm]
und bist so gut wie fertig!
ABER: Hier findest Du trotzdem noch eine sinnige Begründung, warum denn
der Schnitt über alle Intervalle leer sein muss - also wenigstens war nicht
alles ganz umsonst!
(Das Wetter heute bekommt mir anscheinend nicht ^^)
Gruß,
Marcel
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Lieber Marcel,
danke für Deine Mühe.
Zuerst, natürlich hast Du richtig gesehen. Es muss heißen:
[mm] I_n=[\bruch{p_n}{2^n};\bruch{p_n+1}{2^n}.] [/mm] Entschuldige die unklare Notation
Ich bin inzwischen genau zu dem Punkt gekommen, dass [mm] 1/2^n<\epsilon [/mm] gilt. Ich habe jetzt in meiner Argumentation einfach gesagt, dass die Folge [mm] 1/2^n [/mm] den Grenzwert 0 hat: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2^n})=0. [/mm] Damit ist (ii) doch erfüllt. Also habe ich nachgewiesen, dass [mm] I_{n} [/mm] eine Intervallschachtelung ist.
Ich habe eine Frage, dazu, wie ich argumentiere, dass der Schnitt aller Intervalle leer sein muss. Muss ich das mit einem Widerspruchsbeweis zeigen oder reicht es zu argumentieren, dass so eine Schnitt in [mm] \IQ [/mm] immer leer ist, da [mm] \IQ [/mm] das Vollständigkeitsaxiom nicht erfüllt oder ist ein ganz anderer Ansatz sinnvoll? Ich habe Deinen Argumentationsansatz leider noch nicht verstanden. Vielen Dank jedenfalls!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lieber Marcel,
>
> danke für Deine Mühe.
> Zuerst, natürlich hast Du richtig gesehen. Es muss
> heißen:
> [mm]I_n=[\bruch{p_n}{2^n};\bruch{p_n+1}{2^n}.][/mm] Entschuldige
> die unklare Notation
>
>
> Ich bin inzwischen genau zu dem Punkt gekommen, dass
> [mm]1/2^n<\epsilon[/mm] gilt. Ich habe jetzt in meiner Argumentation
> einfach gesagt, dass die Folge [mm]1/2^n[/mm] den Grenzwert 0 hat:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2^n})=0.[/mm]
das ist richtig, und das kannst Du auch leicht mit dem archimedischen
Axiom beweisen:
Zeige einfach, dass [mm] $2^n [/mm] > n$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und benutze dann die
sich daraus ergebende Ungleichung $0< [mm] 1/2^n [/mm] < [mm] 1/n\,.$
[/mm]
> Damit ist
> (ii) doch erfüllt. Also habe ich nachgewiesen, dass [mm]I_{n}[/mm]
> eine Intervallschachtelung ist.
>
> Ich habe eine Frage, dazu, wie ich argumentiere, dass der
> Schnitt aller Intervalle leer sein muss. Muss ich das mit
> einem Widerspruchsbeweis zeigen oder reicht es zu
> argumentieren, dass so eine Schnitt in [mm]\IQ[/mm] immer leer ist,
> da [mm]\IQ[/mm] das Vollständigkeitsaxiom nicht erfüllt oder ist
Das macht nach wie vor keinen Sinn. Ich habe Dir doch eine
Intervallschachtelung in [mm] $\IQ$ [/mm] angegeben, deren Schnitt genau eine
rationale Zahl enthält. Damit ist Deine letzte Behauptung schon
widerlegt!
Was Du "nur" sagen könntest: Wenn der Schnitt solch' einer
Intervallschachtelung eine Bedingung liefert, die für keine rationale Zahl
gültig sein kann, dann ist dieser Schnitt leer. (Wenn er nicht leer ist, ist
er genau einpunktig wegen [mm] $\IQ \subseteq \IR$ [/mm] etc. pp., und dann enthält
er natürlich genau eine rationale Zahl...)
> ein ganz anderer Ansatz sinnvoll? Ich habe Deinen
> Argumentationsansatz leider noch nicht verstanden. Vielen
> Dank jedenfalls!
Ich glaube, ich hab's mir da zu einfach gemacht. Ich denke, Du musst in der
Tat annehmen, dass der Schnitt über alle Intervalle nicht leer sei. Dann
kann dieser Schnitt nur ein Element aus [mm] $\IQ$ [/mm] enthalten, nennen wir es
[mm] $q\,.$ [/mm] Ich denke, es ist dann zu zeigen, dass einerseits [mm] $q^2=2\,$ [/mm] gelten
muss, dies aber nicht sein kann... (letzteres ist Euch sicher schon bekannt)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zu der Aussage, dass der Schnitt über alle Intervalle nicht leer ist:
Es gilt mit [mm] $J_n:=[\tfrac{p_n^2}{4^n},\;\tfrac{(p_{n}+1)^2}{4^n}]$ [/mm] sicher $2 [mm] \in J_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Überlege Dir: Wäre $q [mm] \in \IQ$ [/mm] mit $q [mm] \in I_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN,$ [/mm] so folgte [mm] $q^2 \in J_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Begründe dann, warum damit dann [mm] $q^2=2$ [/mm] gelten müsste!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Im Körper [mm]\IQ[/mm] der rationalen Zahlen sei [mm]p_n[/mm] definiert als
> die größte natürliche
> Zahl mit der Eigenschaft, dass [mm]p^2_n[/mm] ≤ [mm]4^n[/mm] · 2;
> [mm]n\in\IN[/mm]
>
> ist sowie
>
> [mm]I_n:=[p_n/2^n; p_{n}+1/2^n].[/mm]
>
> Man zeige, dass [mm](I_n)_{\in\IN}[/mm] eine Intervallschachtelung
> ist, aber [mm]\bigcap_{n\in\IN} I_n=\emptyset[/mm]
>
> Hallo,
>
> in der Vorlesung haben wir Intervallschachtelung wie folgt
> definiert:
> (i) [mm]I_{n+1}\subset I_n[/mm]
> (ii) Für alle [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es
> ein [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]b_n-a_n<\epsilon.[/mm]
>
> Den Teil (i) hab ich schon bewiesen
darf ich das mal bitte sehen? Ich habe nämlich mal die ganze Aufgabe
jetzt durchgerechnet (und in Latex zusammengeschrieben), und die
ganze Aufgabe ist weniger trivial, als sie zunächst wirkt. Das "Hüpfen"
nach [mm] $\IR$ [/mm] liefert für vieles Lösungsideen, aber man muss das alles,
wie gesagt: [mm] $\IQ$-gerecht [/mm] formulieren. Beim Teil (i) solltest Du etwa
[mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] zunächst beweisen, und dann [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge [/mm] 1$
nachrechnen (das ist nicht so trivial, um das zu begründen, braucht man
die Definition der [mm] $p_n$) [/mm] sowie [mm] $\frac{b_{n+1}}{b_n} \le [/mm] 1$ (auch dafür
muss man rumrechnen und tricksen, bis eine passende Begründung
ersichtlich wird). Beachte dabei übrigens, dass Du wegen [mm] $b_n \ge a_n$ [/mm] nicht mehr
separat [mm] $b_n [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] beweisen musst, dass folgt dann, wenn
wir [mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] eingesehen haben...
> und zu zeigen, dass der
> Schnitt leer ist offensichtlich, da wir uns in [mm]\IQ[/mm] befinden
> und dort das Vollständigkeitsaxiom nicht erfüllt ist.
Ne, das ist gar nicht offensichtlich, aber das habe ich ja nun schon
mehrmals gesagt. Im Endeffekt läuft es tatsächlich darauf hinaus, dass
[mm] "$\sqrt{2} \notin \IQ$".
[/mm]
> Für den Teil (ii) muss ich der Aufgabe nach beweisen das
> [mm](\red{(\;}p_{n}+1\red{\;)}/2^n)-(p_n/2^n)<\epsilon.[/mm]
Das ist eigentlich tatsächlich so ziemlich der einzige einfache Aufgabenteil
bei dieser Aufgabe gewesen. Aber ich verstehe, dass Du, wo man nun
an der Uni "penibelstes beweisen" am Anfang lernt (was auch gut ist), es
nicht einfach als trivial abstempeln wolltest, dass [mm] $1/2^n \to 0\,.$ [/mm] Aber auch
dazu habe ich Dir nun einen Hinweis gegeben, wie Du das
"vorlesungsgerecht" hinschreiben kannst!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank nochmals!
Hier der Teil (i):
Zuerst habe ich die Ungleichung für die Intervallschachtelung aufgestellt:
[mm] \bruch{p_n}{2^n}\le\bruch{p_{n+1}}{2^{n+1}}\le\bruch{p_{n+1}+1}{2^{n+1}}\le\bruch{p_{n}+1}{2^n}
[/mm]
Dann habe ich drei Ungleichungen bewiesen:
(a) [mm] \bruch{p^n}{2^n}\le\bruch{p_n+1}{2^n}
[/mm]
Da kommt doch raus:
0<1
(b) [mm] \bruch{p_{n+1}}{2^{n+1}}\le\bruch{p_{n+1}+1}{2^{n+1}}
[/mm]
Da kommt doch raus:
0<1
(c) [mm] \bruch{p_{n+1}+1}{2^{n+1}}\le\bruch{p_n+1}{2^n}
[/mm]
Da kommt doch raus:
[mm] 1\le p_{n+1}
[/mm]
Ich hoffe, dass stimmt.
Gruß!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank nochmals!
>
> Hier der Teil (i):
>
> Zuerst habe ich die Ungleichung für die
> Intervallschachtelung aufgestellt:
>
> [mm]\bruch{p_n}{2^n}\le\bruch{p_{n+1}}{2^{n+1}}\le\bruch{p_{n+1}+1}{2^{n+1}}\le\bruch{p_{n}+1}{2^n}[/mm]
>
> Dann habe ich drei Ungleichungen bewiesen:
>
> (a) [mm]\bruch{p^n}{2^n}\le\bruch{p_n+1}{2^n}[/mm]
> Da kommt doch raus:
> 0<1
>
> (b) [mm]\bruch{p_{n+1}}{2^{n+1}}\le\bruch{p_{n+1}+1}{2^{n+1}}[/mm]
> Da kommt doch raus:
> 0<1
>
> (c) [mm]\bruch{p_{n+1}+1}{2^{n+1}}\le\bruch{p_n+1}{2^n}[/mm]
> Da kommt doch raus:
> [mm]1\le p_{n+1}[/mm]
ne, eigentlich sehe ich da an keiner Stelle, was Du beweisen willst.
Pass' auf: Nachdem Du [mm] $a_n [/mm] > 0$ $(n [mm] \in \IN)$ [/mm] bewiesen hast, möchtest Du
etwa [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge [/mm] 1$ beweisen. Wenn Du das hinschreibst, siehst Du,
dass Du dafür die äquivalente Ungleichung
[mm] $$p_{n+1} \ge 2p_n$$
[/mm]
beweisen musst.
Da die [mm] $p_n$ [/mm] alle [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, können wir wiederum die äquivalente Ungleichug
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;p_{n+1}^2 \ge 4p_n^2$$
[/mm]
beweisen. [mm] ($(\*)$ [/mm] MUSS BEWIESEN WERDEN- WIR HABEN ALSO QUASI DIE AUFGABE UMFORMULIERT!!)
Nun GILT [mm] $p_n^2 \le 4^n*2$ [/mm] nach Voraussetzung. Daraus folgt, dass
[mm] $$(2p_n)^2=4p_n^2 \le 4^{n+1}*2$$
[/mm]
GILT.
Also ist [mm] $2p_n$ [/mm] eine Zahl, die [mm] $(2p_n)^2 \le 4^{n+1}*2$ [/mm] erfüllt. NACH DEFINITIONEM
von [mm] $p_{n+1}$ [/mm] muss daher [mm] $p_{n+1} \ge 2p_n$ [/mm] und damit [mm] $p_{n+1}^2 \ge 4p_n^2$ [/mm] gelten. Damit ist [mm] $(\*)$ [/mm] bewiesen.
(Das Ganze kann man eigentlich etwas schöner aufschreiben, aber egal.)
Versuch' Dich mal am Beweis für [mm] $\frac{b_{n+1}}{b_n} \le [/mm] 1$ für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
(Der ist etwas kniffliger, wie ich finde!)
P.S. Sowas wie [mm] $\frac{p_n}{2^n} \le \frac{p_n+1}{2^n}$ [/mm] ist wieder trivial (wegen [mm] $1/2^n [/mm] > [mm] 0\,$),
[/mm]
und zeigt eigentlich nur, dass [mm] $I_n=[\tfrac{p_n}{2^n},\;\tfrac{p_n+1}{2^n}]$ [/mm] nicht leer ist!
Du willst doch [mm] $I_{n+1} \subseteq I_n$ [/mm] begründen...
Gruß,
Marcel
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Hallo,
vielen Dank!
Ich habe mich mal an dem Beweis für [mm] \bruch{b_{n+1}}{b_n}\le [/mm] 1 versucht. Zeigen muss ich also dann, dass
(1) [mm] p_{n+1}+1\le 2*p_{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw_{\textrm{quadrieren}}
[/mm]
(2) [mm] (p_{n+1}+1)^2\le (2*p_{n+1})^2
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
(3) [mm] p_{n+1}^2+2*p_{n+1}+1\le 4*p_{n+1}^2
[/mm]
Bei (3) hänge ich. Ich habe schon probiert, bei (2) was mit der Bernoullischen Ungleichung zu machen, aber damit bin ich wohl auf dem Holzweg. Ich könnte einen Tipp gebrauchen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank!
> Ich habe mich mal an dem Beweis für
> [mm]\bruch{b_{n+1}}{b_n}\le[/mm] 1 versucht. Zeigen muss ich also
> dann, dass
>
> (1) [mm]p_{n+1}+1\le 2*p_{n+1}[/mm]
Du meinst
(1) [mm] $p_{n+1}+1 \le 2*\red{\;(\;}p_\red{n}+1\red{\;)\;}$
[/mm]
hoffe ich!
>
> [mm]\gdw_{\textrm{quadrieren}}[/mm]
Beachte dabei, dass beide Seiten [mm] $\ge [/mm] 0$ sind!
>
> (2) [mm](p_{n+1}+1)^2\le (2*p_{n+1})^2[/mm]
Analoge Korrektur:
(2) [mm] $(p_{n+1}+1)^2\le (2*\red{\;(\;}p_{\red{n}}+1\red{\;)\;})^2$
[/mm]
Aber wir werden hier (1) beweisen, und zwar, indem wir [mm] $p_{n+1} [/mm] < [mm] (2*(p_{n}+1)^2$ [/mm] beweisen
(warum ist das hier äquivalent zu (1) ? Und insbesondere impliziert diese
Ungleichung dann die Ungleichung (1)!)
Bzw. wir beweisen die dazu äquivalente Ungleichung
[mm] $$(\*_1)\;\;\;\;\;\;p_{n+1}^2 [/mm] < [mm] 4(p_{n}+1)^2\,.$$
[/mm]
Wir wissen nach Voraussetzung folgendes:
(a) [mm] $p_n^2 \le 4^n*2 [/mm] < [mm] (p_n+1)^2$
[/mm]
(warum gilt das?)
und
(b) [mm] $p_{n+1}^2 \le 4^{n+1}*2 [/mm] < [mm] (p_{n+1}+1)^2$
[/mm]
(Wenn Du die Begründung für (a) hast, ist die für (b) analog.)
Es GILT also ((a) und (b) sind vorausgesetztes Wissen!)
[mm] $$(2(p_{n}+1))^2=4(p_{n}+1)^2 [/mm] > [mm] 4*4^n*2=4^{n+1}*2$$
[/mm]
wegen (a).
Jetzt verwende halt noch (b)...
Gruß,
Marcel
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Lieber Marcel,
vielen Dank. Ich habe mich anscheinend in das Verwechseln von Indizes und Summenbestandteilen verliebt.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lieber Marcel,
>
> vielen Dank.
gerne!
> Ich habe mich anscheinend in das Verwechseln
> von Indizes und Summenbestandteilen verliebt.
Passiert auch schnell - gerade beim Abtippen mit Latex. (Aber da Du nun
geschult bist, ein Auge drauf zu werfen, wirst Du das in Zukunft auch eher
tun).
Hast Du das hier (klick!) hinbekommen?
Dafür musstest Du ja auch zeigen, dass die [mm] $J_n$ [/mm] eine
Intervallschachtelung liefern (die übrigens 'im ganzen Schnitt' genau die
$2 [mm] \in \IQ$ [/mm] enthält).
Gruß,
Marcel
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Hallo,
nein, dass habe ich leider noch nicht hinbekommen.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> nein, dass habe ich leider noch nicht hinbekommen.
woran scheitert's denn? Nutze das bisher Gerechnete aus.
Tipp zur "Nullfolgeneigenschaft der Differenzfolge gebildet aus den
Intervallgrenzen der [mm] $J_n$": [/mm]
3. binomische Formel, und beachte, dass
[mm] $$|a_n+b_n|=a_n+b_n \le 2b_1$$
[/mm]
gilt - wobei [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] vermittels [mm] $\red{I}_n=[a_n,\;b_n]$ [/mm] gegeben waren...
Gruß,
Marcel
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