Intervallschachtelung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Sa 08.11.2014 | | Autor: | anmabupa |
| Aufgabe | Seien a, b ϵR,mit a<b.Das arithmetische und geometrische Mittel von a und b sind gegeben durch:
A(a,b)= (a+b)/2 bzw.G(a,b)=√ab.
Weiter sei eine Folge abgeschlossener Intervalle (a_(n,) [mm] b_n [/mm] )nϵN definiert durch der Betrag aus [mm] (a_1,b_1=a,b) [/mm] und [mm] a_(n+1),b_(n+1)=G(a_n,b_n ),A(a_n,b_n)
[/mm]
Zeigen Sie, dass G(a,b) < A(a,b) gilt
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] a_n,b_n [/mm] n∈N eine Intervallschachtelung ist.
Zeigen Sie, dass die Intervalllänge der folgenden rekursiven Abschätzung genügt:
b_(n+1)- [mm] a_(n+1)<1/8a(b_n-a_n)^2 [/mm] |
Hallo, ich habe diese Aufgabe als Hausaufgabe in Analysis 1 aufbekommen. Ich habe dazu verschiedene Ansätze, komme dann aber nicht weiter oder auf keine Lösung. Ich denke das die Ansätze falsch sind. Kann mir jemand helfen ? Vielleicht Ansätze oder Hilfen ? Oder auch Lösungen ?
Danke schonmal im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo anmabupa
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien a, b ϵR,mit a<b.
Ich vermute sehr, dass nicht nur dies vorausgesetzt
werden soll, sondern:
0 < a < b
oder es stand da z.B. $\ a\ ,\ b\ [mm] \in\ \IR^+$ [/mm]
(Nebenfrage: weshalb diese Einschränkung auf
positive Zahlen ?)
> Das arithmetische und geometrische
> Mittel von a und b sind gegeben durch:
> A(a,b)= (a+b)/2 bzw.G(a,b)=√ab.
> Weiter sei eine Folge abgeschlossener Intervalle (a_(n,)
> [mm]b_n[/mm] )nϵN definiert durch der Betrag aus [mm](a_1,b_1=a,b)[/mm] und ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> [mm]a_(n+1),b_(n+1)=G(a_n,b_n ),A(a_n,b_n)[/mm]
Dies ist nicht korrekt bzw. nicht gut notiert. Hier haben
wir einen Formeleditor (Eingabehilfen), womit man Terme
in mathematischer Notation schreiben kann. Nutze ihn bitte !
> Zeigen Sie, dass G(a,b) < A(a,b) gilt
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm]a_n,b_n[/mm] n∈N eine
> Intervallschachtelung ist.
> Zeigen Sie, dass die Intervalllänge der folgenden
> rekursiven Abschätzung genügt:
> b_(n+1)- [mm]a_(n+1)<1/8a(b_n-a_n)^2[/mm]
> Hallo, ich habe diese Aufgabe als Hausaufgabe in Analysis
> 1 aufbekommen. Ich habe dazu verschiedene Ansätze, komme
> dann aber nicht weiter oder auf keine Lösung. Ich denke
> das die Ansätze falsch sind. Kann mir jemand helfen ?
> Vielleicht Ansätze oder Hilfen ? Oder auch Lösungen ?
Wenn du schon Ansätze hast, dann zeig diese doch hier,
damit wir konkret auf sie eingehen können. Ich würde dir
auch empfehlen, geeignete Abkürzungen zu verwenden.
Um zum Beispiel die Ungleichung G(a,b) < A(a,b) zu
zeigen, würde ich $\ g:= G(a,b) = [mm] \sqrt{a*b}$ [/mm] und $\ m:= A(a,b) = [mm] \frac{a+b}{2}$
[/mm]
setzen. Dies macht den Nachweis übersichtlicher und
gibt erst noch deutlich weniger zu schreiben. Damit
kann man auch die Fehlermöglichkeiten verringern.
Also, wir sind gespannt auf deine Ansätze (diejenigen,
die du als deine bisher besten betrachtest).
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 08.11.2014 | | Autor: | anmabupa |
zu a)
G(a,b) < A(a,b)
√ab < (a+b)/2
Das ist ja irgendwie klar, aber ich bin mir nicht sicher wie ich da weiter vorgehen soll, bzw. wie ich das lösen soll.
zu b)
Es soll gelten, dass I_(n+1) < [mm] I_n [/mm] neN
zu c)
Es müsste gegen einen Punkt konvergieren, weil :
[mm] a_k [/mm] /le [mm] a_n [/mm] /le [mm] b_n [/mm] /le [mm] b_k [/mm] /le n /le k
-> [mm] a_k [/mm] /le x /le [mm] b_k
[/mm]
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> zu a)
> G(a,b) < A(a,b)
> √ab < (a+b)/2
>
> Das ist ja irgendwie klar, aber ich bin mir nicht sicher
> wie ich da weiter vorgehen soll, bzw. wie ich das lösen
> soll.
Zunächst mal ist das gar nicht einfach klar. Da gibt es
wirklich etwas zu beweisen. Du kannst (mit meinem
vorher angegebenen Tipp) etwa so vorgehen:
Sei 0<a<b und $ \ g:= G(a,b) = [mm] \sqrt{a\cdot{}b} [/mm] $ und $ \ m:= A(a,b) = [mm] \frac{a+b}{2} [/mm] $
Gezeigt werden soll, dass g<m . Dazu kannst du zuerst
mal zeigen, dass auch g und m positiv sein müssen.
Wenn dies geklärt ist, ist die zu beweisende Ungleichung g<m
äquivalent zur Ungleichung [mm] g^2
warum sind hier die vorherigen Vorzeichenüberlegungen
wichtig ?).
Nun geht es also neu um die Ungleichung $\ [mm] g^2
ausgeschrieben:
$\ [mm] \left(\sqrt{a\cdot{}b}\,\right)^2\ [/mm] <\ [mm] \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 [/mm] $
Diese Ungleichung zu beweisen, ist nun noch eine
kleine Übung in elementarer Algebra.
Noch eine Bitte: deklariere weitere Rückfragen bitte
als Fragen und nicht als bloße "Mitteilungen" !
LG , Al-Chw.
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