Intervallgrenze ? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 07.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich soll eine Funktionenfolge auf glm.Konvergenz überprüfen in den Intervallen:
1. [mm] [a, \infty[ [/mm] für alle a > 0
2. [mm] ]0, \infty[ [/mm]
Aber das sind doch die gleichen Intervalle ?
(Ist das eine Trickfrage oder verstehe ich hier etwas nicht richtig ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") )
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 So 07.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich soll eine Funktionenfolge auf glm.Konvergenz
> überprüfen in den Intervallen:
> 1. [mm][a, \infty[[/mm] für alle a > 0
> 2. [mm]]0, \infty[[/mm]
> Aber das sind doch die gleichen Intervalle
> ?
nein, im ersten Fall ist z.B. [mm] $[a,\infty[$ [/mm] stets ein linksabgeschlossenes Intervall. [mm] $]0,\infty[$ [/mm] ist aber stets linksoffen.
Und im ersten Fall geht es darum, dass Du zunächst irgendein $a > 0$ hernimmst und das dann festhältst und die Funktionenfolge auf [mm] $[a,\infty[$ [/mm] betrachtest. Wichtig ist dabei natürlich, dass Du das [mm] $\,a\,$ [/mm] als beliebige, feste Variable mit $a > 0$ betrachtest. Also nicht konkret werden. Wenn Du mit der Untersuchung fertig bist, sollte sich dann das Ergebnis auch für spezielle Werte von [mm] $\,a\,$ [/mm] (z.B. [mm] $a=\pi/3\,,$ $a=5\,,$ [/mm] $a=9.7$) überprüfen lassen.
Beispiel:
Ich behaupte mal:
[mm] $$f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ \sin(1/x), & \mbox{für } x \not=0 \end{cases}$$
[/mm]
ist (sogar glm.) stetig auf jedem Kompaktum $[a,b]$ mit $0 < a < [mm] b\,.$ [/mm] Allerdings ist [mm] $\,f\,$ [/mm] nicht glm. stetig auf $]0,b]$ für jedes $b > [mm] 0\,.$
[/mm]
Beweis:
Seien $0 < a < b$ fest. Dann gilt [mm] $f(x)=\sin(1/x)$ [/mm] auf $[a,b]$, also ist $f$ als Verkettung (auf $[a,b]$) stetiger Funktionen stetig. (Die Zusatzbehauptung mit glm. Stetigkeit folgt, weil stetige Funktionen auf kompakten Mengen glm. stetig sind.)
Und eine Beweisskizze, dass [mm] $\,f\,$ [/mm] auf $]0,b[$ (mit festem $b > 0$) nicht glm. stetig sein kann:
Überlege Dir, dass für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ (o.E. [mm] $\delta \le [/mm] b$) im Intervall [mm] $(0,\delta)$ [/mm] sowohl der Funktionswert [mm] $\,1\,$ [/mm] als auch der Funktionswert [mm] $\,-1\,$ [/mm] angenommen wird. Zu [mm] $\varepsilon=1 [/mm] > 0$ kann es also kein [mm] $\delta [/mm] > 0$ geben mit...
Naja, Du musst das nicht ganz verstehen, ich hoffe nur, dass Dir anhand dieses beispielhaftes Vorgehen etwas klarer wird, was in Deiner Aufgabe zu tun ist.
Und wenn es doch unklar ist, solltest Du vll. mal Deine Überlegungen posten, insbesondere auch die genaue Aufgabenstellen (also mit Angabe der Funktionenfolge).
P.S.:
Falls Dir das obige Beispiel zu schwer erscheint, mache ich auch nochmal ein einfacheres:
Behauptung:
Für jedes $a > 0$ hat die Menge [mm] $[a,\infty[$ [/mm] ein Minimum.
Beweis:
Klar: Für $a > 0$ ist offensichtlich [mm] $\,a\,$ [/mm] das Infimum der Menge [mm] $[a,\infty[\,,$ [/mm] und da $a [mm] \in [a,\infty[$ [/mm] folgt, dass [mm] $\,a\,$ [/mm] sogar das Minimum von [mm] $[a,\infty[$ [/mm] ist.
Behauptung:
Die Menge [mm] $]0,\infty[$ [/mm] hat kein Minimum.
Beweis:
Auch das ist klar. Offensichtlich ist $0$ das Infimum der Menge [mm] $]0,\infty[$. [/mm] Hätte [mm] $]0,\infty[$ [/mm] ein Minimum, so wäre dieses mit dem Infimum gleich. Dann wäre aber $0 [mm] \in ]0,\infty[$. [/mm] Widerspruch.
(Wobei man diese offensichtlichen Aussagen vll. in den ersten Semestern auch, in Übungsaufgaben, entweder selbst beweisen oder mit Verweisen auf die Vorlesung belegen sollte, damit es auch wirklich offensichtlich wird  .)
Aber ich hoffe, Du siehst den Unterschied:
Für jedes $a > 0$ hat die Menge [mm] $[a,\infty[$ [/mm] ein Minimum, aber die Menge [mm] $]0,\infty[$ [/mm] hat keines. Also das sind schon unterschiedliche Betrachtungen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 07.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | [mm] f_n: \IR \to \IR, x \to f_n(x):=nx \cdot exp(-nx) [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] f_n [/mm] gleichmässig auf [mm] [a,\infty[, a>0 [/mm] konvergiert. Konvergiert [mm] f_n [/mm] auch gleichmässig auf [mm] ]0,\infty[ [/mm] |
Hallo Marcel,
wow - vielen vielen Dank für die tolle Erklärung.
Den Unterschied habe ich jetzt verstanden - danke !
Jetzt zu meiner Aufgabe (leider kriege ich die noch nicht so richtig hin):
Die Funktionenfolge ist punktweise konvergent gegen die 0-Funktion.
Also muss [mm] \parallel f_n-f \parallel [/mm] gegen 0 gehen für n gegen Unendlich.
[mm] \bruch{nx}{exp(nx)} - 0 < \bruch{nx}{nx} < 1 [/mm]
Da fällt aber n und x weg ?
Und was ist mit [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] ? Das geht gegen 1/e ?
Theoretisch verstehe ich die glm.Konvergenz - praktisch kann ich sie nicht zeigen.
Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Dass Deine Folge auf $ [mm] ]0,\infty[ [/mm] $ nicht glm. konvergiert, habe ich Dir früher schon mal ausführlich vorgemacht !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 08.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
> Dass Deine Folge auf [mm]]0,\infty[[/mm] nicht glm. konvergiert,
> habe ich Dir früher schon mal ausführlich vorgemacht !!
>
> FRED
Hallo Fred,
erstmal vielen Dank, dass Du mir immer wieder hilfst und Tipps gibst !
Aber, tut mir leid, ich knacke immer noch an dieser Aufgabe herum.
Irgendwie habe ich dieses Thema noch nicht so richtig verstanden - oder kann es noch nicht richtig anwenden - oder beides - und da ich an der Fernuni studiere, kann ich auch keinen Prof. fragen wenn ich ein Brett vor dem Kopf habe - tut mir leid.
Nach Deiner letzten Antwort/Hilfe hatte ich nochmals nachgefragt, aber die Frage lief dann unbeantwortet aus.
Und dann bin ich über allg.Verständnisfragen wieder zu dieser konkreten Aufgabe zurückgekommen.
Aber, wie gesagt, leider mache ich immer noch dran rum.
Ich verstehe, dass [mm] f_n(1/n)=\bruch{1}{e} [/mm] für jedes n ist, aber wie ich das in Zusammenhang mit der glm.Konvergenz bringen kann, verstehe ich immer noch nicht.
Kann man sagen, wenn ich eine Funktionenfolge finde, die gegen eine konstante Folge läuft, die nicht die Grenzfunktion der punktweisen Konvergenz ist, ist keine glm.Konvergenz gegeben ?
Für die punktw. Konvergenz nehme ich ein festes x und lasse alle [mm] f_n [/mm] durchlaufen. Wenn ich für [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] nehme, ist das x ja nicht mehr fix ? Das kriege ich irgendwie nicht zusammen.
VIELEN DANK, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Also.
Wir haben in Deinem Fall:
1. [mm] (f_n) [/mm] konv. punktweise gegen die Nullfunktion auf [0, [mm] \infty)
[/mm]
2. [mm] f_n(1/n) [/mm] = 1/e für jedes n.
Würde nun [mm] (f_n) [/mm] auf [0, [mm] \infty) [/mm] gleichmaßig gegen 0 konv. , so würde gelten:
[mm] a_n [/mm] := sup { [mm] |f_n(x)|: [/mm] x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] } --> 0 (n--> [mm] \infty)
[/mm]
Es ist aber: 1/e = [mm] |f_n(1/n)| \le a_n [/mm] für n in [mm] \IN. [/mm] Also ist [mm] (a_n) [/mm] keine Nullfolge, Widerspruch!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Di 09.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
ich glaube, mit dem Argument [mm] \bruch{1}{n} [/mm] habe ich ein totales Brett vor dem Kopf. Seit Stunden brüte ich über Deiner Erklärung und habe doch immer noch nicht alles begriffen:
> 1. [mm](f_n)[/mm] konv. punktweise gegen die Nullfunktion auf [0,
> [mm]\infty)[/mm]
>
> 2. [mm]f_n(1/n)[/mm] = 1/e für jedes n.
>
> Würde nun [mm](f_n)[/mm] auf [0, [mm]\infty)[/mm] gleichmaßig gegen 0 konv. ,
> so würde gelten:
>
> [mm]a_n[/mm] := sup [mm] \{ |f_n(x)|:[/mm] x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty) \} [/mm] --> 0 (n-->
> [mm]\infty)[/mm]
>
> Es ist aber: 1/e = [mm]|f_n(1/n)| \le a_n[/mm] für n in [mm]\IN.[/mm] Also
> ist [mm](a_n)[/mm] keine Nullfolge, Widerspruch!
>
Bei 1) nehme ich in der Funktionenfolge ein festes x und ermittel darüber eine Folge für jedes n [mm] \in \IN. [/mm] Und diese Folge geht für jedes x [mm] \ge [/mm] 0 gegen 0.
Bei 2) habe ich ja kein festes Argument mehr. Das ist doch eigentlich je EIN Folgenglied in vielen Funktionenfolgen, das immer [mm] \bruch {1}{e} [/mm] ist.
Ich bitte um Nachsicht !
Vielen Dank, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Di 09.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> ich glaube, mit dem Argument [mm]\bruch{1}{n}[/mm] habe ich ein
> totales Brett vor dem Kopf. Seit Stunden brüte ich über
> Deiner Erklärung und habe doch immer noch nicht alles
> begriffen:
>
> > 1. [mm](f_n)[/mm] konv. punktweise gegen die Nullfunktion auf [0,
> > [mm]\infty)[/mm]
> >
> > 2. [mm]f_n(1/n)[/mm] = 1/e für jedes n.
> >
> > Würde nun [mm](f_n)[/mm] auf [0, [mm]\infty)[/mm] gleichmaßig gegen 0 konv. ,
> > so würde gelten:
> >
> > [mm]a_n[/mm] := sup [mm]\{ |f_n(x)|:[/mm] x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty) \}[/mm] --> 0 (n-->
> > [mm]\infty)[/mm]
> >
> > Es ist aber: 1/e = [mm]|f_n(1/n)| \le a_n[/mm] für n in [mm]\IN.[/mm] Also
> > ist [mm](a_n)[/mm] keine Nullfolge, Widerspruch!
> >
> Bei 1) nehme ich in der Funktionenfolge ein festes x und
> ermittel darüber eine Folge für jedes n [mm]\in \IN.[/mm] Und diese
> Folge geht für jedes x [mm]\ge[/mm] 0 gegen 0.
> Bei 2) habe ich ja kein festes Argument mehr. Das ist doch
> eigentlich je EIN Folgenglied in vielen Funktionenfolgen,
> das immer [mm]\bruch {1}{e}[/mm] ist.
>
> Ich bitte um Nachsicht !
> Vielen Dank, Susanne.
>
>
Gleichmäßige Konvergenz auf [0, [mm] \infty) [/mm] heißt doch:
[mm]a_n[/mm] := sup [mm]\{ |f_n(x)|:[/mm] x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty) \}[/mm] --> 0 (n--> [mm]\infty)[/mm]
Bist Du damit eiverstanden ?
Jetzt wissen wir aber, dass [mm] a_n \ge [/mm] 1/e ist für jedes n.
Also kann die Konvergenz nicht glm. sein
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 09.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
>> Gleichmäßige Konvergenz auf [0, [mm]\infty)[/mm] heißt doch:
>
> [mm]a_n[/mm] := sup [mm]\{ |f_n(x)|:[/mm] x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty) \}[/mm] --> 0 (n-->
> [mm]\infty)[/mm]
>
>
> Bist Du damit eiverstanden ?
>
> Jetzt wissen wir aber, dass [mm]a_n \ge[/mm] 1/e ist für jedes n.
>
> Also kann die Konvergenz nicht glm. sein
>
Achso, bedeutet das, weil es in jeder Funktionenfolge ein Funktionsglied von 1/e gibt, ist [mm] a_n [/mm] mindestens 1/e gross und die Konvergenz damit nicht glm. ?
VIELEN DANK, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 09.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >> Gleichmäßige Konvergenz auf [0, [mm]\infty)[/mm] heißt doch:
> >
> > [mm]a_n[/mm] := sup [mm]\{ |f_n(x)|:[/mm] x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty) \}[/mm] --> 0 (n-->
> > [mm]\infty)[/mm]
> >
> >
> > Bist Du damit eiverstanden ?
> >
> > Jetzt wissen wir aber, dass [mm]a_n \ge[/mm] 1/e ist für jedes n.
> >
> > Also kann die Konvergenz nicht glm. sein
> >
> Achso, bedeutet das, weil es in jeder Funktionenfolge ein
> Funktionsglied von 1/e gibt, ist [mm]a_n[/mm] mindestens 1/e gross
> und die Konvergenz damit nicht glm. ?
>
> VIELEN DANK, Susanne.
ja, ich glaube, Du meinst das richtige:
Ein klein wenig ausführlicher:
Würde [mm] $(f_n)$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] gleichmäßig konvergieren, so könnte sie dies auch nur gegen die (punktweise) Grenzfunktion $f(x):=0$ ($x [mm] \in [0,\infty)$) [/mm] tun.
Dann muss aber [mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|: x \in [0,\infty)\} \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] gelten.
Hier ist aber [mm] $|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)|$ [/mm] (für alle $x [mm] \in [0,\infty)$, [/mm] $n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Und zudem hat Fred gezeigt (indem er für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] dann [mm] $x=x_n:=1/n \in [0,\infty)$ [/mm] in [mm] $f_n(x)$ [/mm] eingesetzt hat)
[mm] $$a_n=\sup\{|f_n(x)|: x \in [0,\infty)\} \ge f_n(x_n)=f_n(1/n)=1/e\,.$$
[/mm]
Also gilt [mm] $a_n \not\to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] (bzw.: [mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|: x\in [0,\infty)\} \not\to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$)).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Di 09.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred, hallo Marcel,
VIELEN VIELEN DANK für eure Mühe und Geduld !!
Diese Aufgabe war für mich eine echt harte Nuss, aber dank eurer Hilfe habe ich - obwohl ich sie natürlich nicht selber lösen konnte - doch einiges dazugelernt.
Danke und einen lieben Gruss, Susanne.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f_n: \IR \to \IR, x \to f_n(x):=nx \cdot exp(-nx)[/mm]
> Zeigen
> Sie, dass [mm]f_n[/mm] gleichmässig auf [mm][a,\infty[, a>0[/mm] konvergiert.
> Konvergiert [mm]f_n[/mm] auch gleichmässig auf [mm]]0,\infty[[/mm]
> Hallo Marcel,
> wow - vielen vielen Dank für die tolle Erklärung.
> Den Unterschied habe ich jetzt verstanden - danke !
>
> Jetzt zu meiner Aufgabe (leider kriege ich die noch nicht
> so richtig hin):
> Die Funktionenfolge ist punktweise konvergent gegen die
> 0-Funktion.
> Also muss [mm]\parallel f_n-f \parallel[/mm] gegen 0 gehen für n
> gegen Unendlich.
> [mm]\bruch{nx}{exp(nx)} - 0 < \bruch{nx}{nx} < 1[/mm]
> Da fällt aber n und x weg ?
dann ist Deine Abschätzung zu grob!
Benutze z.B., dass für $x [mm] \ge [/mm] 0$ und $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $$\exp(nx)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(nx)^k}{k!} \ge \frac{n^2 x^2}{2!}=\frac{n^2 x^2}{2}\,.$$
[/mm]
Oder Du arbeitest (beachte: $a > 0$) mit der Supremumsnorm der [mm] $f_n$ [/mm] auf [mm] $[a,\infty[$ [/mm] (da kann man notfalls auch mithilfe der Ableitungen der [mm] $f_n$ [/mm] an die Aufgabe herangehen).
> Und was ist mit [mm]x=\bruch{1}{n}[/mm] ? Das geht gegen 1/e ?
??? Wie jetzt? Es gilt doch
[mm] $$\frac{1}{n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0\,.$$
[/mm]
Irgendwie meinst Du vll. was anderes?
[mm] ($(1+1/n)^n \to [/mm] e$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt, aber wie kommst Du nun darauf?)
> Theoretisch verstehe ich die glm.Konvergenz - praktisch
> kann ich sie nicht zeigen.
Probiere es nochmal mit der obigen Abschätzung (und dann beachte, dass die Aussage der glm. Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] sich auf [mm] $[a,\infty[$ [/mm] mit $a > 0$ bezieht!).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mo 08.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Marcel,
VIELEN DANK für Deine ausführliche Erklärung und tolle Hilfe !
> > [mm]\bruch{nx}{exp(nx)} - 0 < \bruch{nx}{nx} < 1[/mm]
> > Da fällt aber n und x weg ?
>
> dann ist Deine Abschätzung zu grob!
>
> Benutze z.B., dass für [mm]x \ge 0[/mm] und [mm]n \in \IN[/mm] gilt:
> [mm]\exp(nx)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(nx)^k}{k!} \ge \frac{n^2 x^2}{2!}=\frac{n^2 x^2}{2}\,.[/mm]
Auf so was muss ich erstmal kommen !
Hier jetzt mein Versuch:
Also [mm] exp(nx) \ge \frac{n^2 x^2}{2} [/mm], dann ist [mm] \bruch{1}{exp(nx)} \le \bruch{2}{n^2x^2} [/mm].
Dann gilt für [mm] f_n(a)=\bruch{na}{exp(na)} \le \bruch{2na}{n^2a^2}=\bruch{2}{na} [/mm] und das geht gegen 0 für alle a>0 und n gegen Unendlich.
Stimmt das so ?
VIELEN DANK, Susanne.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mo 08.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marcel,
> VIELEN DANK für Deine ausführliche Erklärung und tolle
> Hilfe !
>
> > > [mm]\bruch{nx}{exp(nx)} - 0 < \bruch{nx}{nx} < 1[/mm]
> > > Da fällt aber n und x weg ?
> >
> > dann ist Deine Abschätzung zu grob!
> >
> > Benutze z.B., dass für [mm]x \ge 0[/mm] und [mm]n \in \IN[/mm] gilt:
> > [mm]\exp(nx)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(nx)^k}{k!} \ge \frac{n^2 x^2}{2!}=\frac{n^2 x^2}{2}\,.[/mm]
>
> Auf so was muss ich erstmal kommen !
>
> Hier jetzt mein Versuch:
> Also [mm]exp(nx) \ge \frac{n^2 x^2}{2} [/mm], dann ist
> [mm]\bruch{1}{exp(nx)} \le \bruch{2}{n^2x^2} [/mm].
> Dann gilt für
> [mm]f_n(a)=\bruch{na}{exp(na)} \le \bruch{2na}{n^2a^2}=\bruch{2}{na}[/mm]
> und das geht gegen 0 für alle a>0 und n gegen Unendlich.
>
> Stimmt das so ?
Das sieht gut aus.
>
> VIELEN DANK, Susanne.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Mo 08.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Marius,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !!
LG, Susanne.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Susanne,
> Hallo Marcel,
> VIELEN DANK für Deine ausführliche Erklärung und tolle
> Hilfe !
>
> > > [mm]\bruch{nx}{exp(nx)} - 0 < \bruch{nx}{nx} < 1[/mm]
> > > Da fällt aber n und x weg ?
> >
> > dann ist Deine Abschätzung zu grob!
> >
> > Benutze z.B., dass für [mm]x \ge 0[/mm] und [mm]n \in \IN[/mm] gilt:
> > [mm]\exp(nx)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(nx)^k}{k!} \ge \frac{n^2 x^2}{2!}=\frac{n^2 x^2}{2}\,.[/mm]
>
> Auf so was muss ich erstmal kommen !
>
> Hier jetzt mein Versuch:
> Also [mm]exp(nx) \ge \frac{n^2 x^2}{2} [/mm], dann ist
> [mm]\bruch{1}{exp(nx)} \le \bruch{2}{n^2x^2} [/mm].
> Dann gilt für
> [mm]f_n(a)=\bruch{na}{exp(na)} \le \bruch{2na}{n^2a^2}=\bruch{2}{na}[/mm]
> und das geht gegen 0 für alle a>0 und n gegen Unendlich.
>
> Stimmt das so ?
es sieht gut aus, aber Du hast etwas (wichtiges) unterschlagen:
Ist $a [mm] \,>\, [/mm] 0$, so gilt für alle [mm] $\blue{x \in [a,\infty[}$:
[/mm]
[mm] $$(\star)\;\;\;\red{|}f_n(\red{x})\red{|} \le \frac{nx}{n^2x^2} \le \bruch{2na}{n^2a^2}=\bruch{2}{na}\,.$$
[/mm]
Die Betragsstriche sind hier nicht so wesentlich (man sollte sich dann aber klar machen, dass $0 [mm] \le f_n(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [a,\infty[$ [/mm] gilt, wenn man sie unterschlägt).
Aber es ist schon wichtig, dass in [mm] $(\star)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [a,\infty[$ [/mm] gilt. Bei Dir geht das etwas unter, zumal Du da links auch nur [mm] $f_n(\green{a})$ [/mm] stehen hast. Es kann ein Flüchtigkeitsfehler gewesen sein, aber falls nicht, dann mach' Dir bitte den Unterschied klar, warum Du das eigentlich so wie in [mm] $(\star)$ [/mm] notieren musst (oder analog), um eine wirklich griffige Argumentation zu haben.
Würde ich Deinen Vorschlag zu korrigieren haben, würde ich dabeischreiben, wieso Du da [mm] $f_n(\green{a})$ [/mm] stehen hast. Da fehlt dann was.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Di 09.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Marcel,
> es sieht gut aus, aber Du hast etwas (wichtiges)
> unterschlagen:
> Ist [mm]a \,>\, 0[/mm], so gilt für alle [mm]\blue{x \in [a,\infty[}[/mm]:
>
> [mm](\star)\;\;\;\red{|}f_n(\red{x})\red{|} \le \frac{nx}{n^2x^2} \le \bruch{2na}{n^2a^2}=\bruch{2}{na}\,.[/mm]
>
> Die Betragsstriche sind hier nicht so wesentlich (man
> sollte sich dann aber klar machen, dass [mm]0 \le f_n(x)[/mm] für
> alle [mm]x \in [a,\infty[[/mm] gilt, wenn man sie unterschlägt).
>
> Aber es ist schon wichtig, dass in [mm](\star)[/mm] für alle [mm]x \in [a,\infty[[/mm]
> gilt. Bei Dir geht das etwas unter, zumal Du da links auch
> nur [mm]f_n(\green{a})[/mm] stehen hast. Es kann ein
> Flüchtigkeitsfehler gewesen sein, aber falls nicht, dann
> mach' Dir bitte den Unterschied klar, warum Du das
> eigentlich so wie in [mm](\star)[/mm] notieren musst (oder analog),
> um eine wirklich griffige Argumentation zu haben.
> Würde ich Deinen Vorschlag zu korrigieren haben, würde ich
> dabeischreiben, wieso Du da [mm]f_n(\green{a})[/mm] stehen hast. Da
> fehlt dann was.
VIELEN DANK für den Hinweis !
Das war kein Flüchtigkeitsfehler, sondern das hatte ich bewusst so (falsch) gemacht. Aber jetzt verstehe ich den Unterschied in der Argumentation - vielen Dank !!
LG, Susanne.
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