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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 So 11.09.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo zusammen,
Gegeben ist folgende Aufgabe:
Für Teilmengen A, B von [mm] \IR [/mm] seien A+B, A-B und AB gemäss
A [mm] \circ [/mm] B = [mm] \{a \circ b: a \in A und b \in B \}
[/mm]
definiert, wobei [mm] \circ [/mm] für Addition, Subtraktion und Multiplikation steht. Besteht die Menge A nur aus dem einen Element a, so schreibt man statt [mm] \{a \} \circ [/mm] B kürzer a [mm] \circ [/mm] B. Es ist z.B.
2*[3, 5] = [6, 10], 2+[3, 5]=[5, 7], [-1, 2]+[3, 5]=[2, 7]
sowie A [mm] \circ \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] für alle A.
Man zeige, dass in der Potenzmenge [mm] P(\IR) [/mm] von [mm] \IR [/mm] die Axiome (A1)-(A8) (Assoziativität und Kommutativität der Addition/Multiplikation, neutrales Element der Addition/Multiplikation) ohne (A3)(additiv inverses Element) und (A7)(mult. inverses Element) gelten.
Darf ich beim Lösen dieser Aufgabe die Gesetze der Addition und Multiplikation, also [a, b]+[c, d] = [a+c, b+d] und [a, b]*[c, d] = [min(ac, ad, bc, bd), max(ac, ad, bc, bd) voraussetzen oder nicht?
Ich habe dies beim Beweisen getan, war mir aber hinterher nicht sicher, ob dies erlaubt ist.
Falls die Gesetze nicht vorausgesetzt werden dürfen: habt ihr einen Tipp, wie man sonst die Aufgabe angehen könnte?
Vielen Dank und freundliche Grüsse
Gilles
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Hallo gilles,
Das die entsprechenden Axiome für die reellen Zahlen gelten darfst Du sicher voraussetzen und brauchst das für den Beweis auch. Ich möchte allerdings zu Bedenken geben das die Potenzmenge von R nicht aus Intervallen besteht.
Deswegen sind diese Regeln:
> Darf ich beim Lösen dieser Aufgabe die Gesetze der Addition
> und Multiplikation, also [a, b]+[c, d] = [a+c, b+d] und [a,
> b]*[c, d] = [min(ac, ad, bc, bd), max(ac, ad, bc, bd)
> voraussetzen oder nicht?
die sich ja schon auf die Intervallarithmetik beziehen sicher nicht brauchbar. Da mußt Du Dich wohl oder übel mehr auf die Definition stützen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 22.09.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo zusammen,
Vielen Dank noch für die Antwort. Ich denke, ich konnte jetzt die Lösung finden. Ich war letzte Woche fort und konnte daher nicht so schnell antworten.
In der Aufgabe, die ich im ersten Artikel erwähnt habe, steht noch folgendes:
"Man zeige, dass A9 (Distributivitätsgesetz) falsch, die schwächere Version
A(B+C) [mm] \subset [/mm] AB+AC
jedoch richtig ist."
Um zu zeigen, dass A9 für Mengen reeller Zahlen falsch ist, genügt ja ein Zahlenbeispiel, oder? Damit hätte ich kein Problem.
Schwierig ist für mich vor allem zu zeigen, dass die schwächere Version gilt:
Für A(B+C) gilt ja folgende Definition:
A(B+C) = [mm] \{a(b+c): a \in A, b \in B und c \in C \}
[/mm]
a(b+c) ist ja gemäss dem Distributivitätsgesetz gleich ab+ac, wobei a auf beiden Seiten des Pluszeichens die gleiche Zahl bezeichnet.
Nun zu AB+AC:
AB = [mm] \{ab: a \in A und b \in B \}
[/mm]
AC = [mm] \{ac: a \in A und c \in C \}
[/mm]
Damit können bei AB+AC rechts und links des Pluszeichens alle a [mm] \in [/mm] A vorkommen. Möglich ist aber auch, dass auf beiden Seiten a gleich ist. Damit ist A(B+C) [mm] \subset [/mm] AB+AC.
Ist dies der richtige Ansatz für einen Beweis?
Vielen Dank und Gruss
Gilles
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Fr 23.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> "Man zeige, dass A9 (Distributivitätsgesetz) falsch, die
> schwächere Version
>
> A(B+C) [mm]\subset[/mm] AB+AC
>
> jedoch richtig ist."
>
> Um zu zeigen, dass A9 für Mengen reeller Zahlen falsch ist,
> genügt ja ein Zahlenbeispiel, oder? Damit hätte ich kein
> Problem.
Was wäre denn zB eins? (alls du es kontrolleiren willst.)
> Schwierig ist für mich vor allem zu zeigen, dass die
> schwächere Version gilt:
[...]
> Ist dies der richtige Ansatz für einen Beweis?
Ja, das kann man so machen - etwas holprig formuliert, aber durchaus richtig. Dein Beweis ist aber dahingehend nett, als das er auch zeigt, warum Gleichheit wohl nicht zu erwarten ist!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Fr 23.09.2005 | | Autor: | gilles |
Vielen Dank!
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