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Hallo,
ich habe probleme mit einer Aufgabe...
Also, die Brenndauer X einer Glühlampe ist normalverteilt mit der standardabweichung [mm] \delta=200h [/mm] bei einer Produktionsserie wird nun in einer Stichprobe von n=1800 Birnen die mittleren Brenndauer [mm] \mu=1288h [/mm] festgestellt.
Nun soll zur Sicherheitswahrscheinlichkeit [mm] \gamma=0,95 [/mm] ein Vertrauensintervall (??) für die mittlere Brenndauer dieser Glühbirnen bestimmt werden.
So nun hab ich mir gedacht, dass ich dies mit der Gleichung:
{ | [mm] X-\mu [/mm] | <a} [mm] \ge 1-(\delta^2)/a^2 \ge [/mm] 0,95
ausrechnen kann in dem ich nach a auflöse und einsetze.
[mm] a\le \wurzel{(200h)^2/0.05}
[/mm]
also ergibt sich für a (nach meiner rechnung)
[mm] a\le [/mm] 894h aber dieser Wert ist doch viel zu riesig, da das eiem intervall von [1288h-894h; 1288h+894h]
dass kann ja eigentlich gar nicht sein, oder? Außerdem habe ich auch nicht gewußt wie ich das n=1800 einbinden muss!
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte!!
Christina
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Hi, Christina,
> ich habe probleme mit einer Aufgabe...
> Also, die Brenndauer X einer Glühlampe ist normalverteilt
> mit der standardabweichung [mm]\delta=200h[/mm] bei einer
> Produktionsserie wird nun in einer Stichprobe von n=1800
> Birnen die mittleren Brenndauer [mm]\mu=1288h[/mm] festgestellt.
> Nun soll zur Sicherheitswahrscheinlichkeit [mm]\gamma=0,95[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ein
> Vertrauensintervall (??) für die mittlere Brenndauer dieser
> Glühbirnen bestimmt werden.
>
> So nun hab ich mir gedacht, dass ich dies mit der
> Gleichung:
>
> { | [mm]X-\mu[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| <a} [mm]\ge 1-(\delta^2)/a^2 \ge[/mm] 0,95
>
> ausrechnen kann in dem ich nach a auflöse und einsetze.
>
> [mm]a\le \wurzel{(200h)^2/0.05}[/mm]
>
> also ergibt sich für a (nach meiner rechnung)
>
> [mm]a\le[/mm] 894h aber dieser Wert ist doch viel zu riesig, da das
> eiem intervall von [1288h-894h; 1288h+894h]
>
> dass kann ja eigentlich gar nicht sein, oder? Außerdem habe
> ich auch nicht gewußt wie ich das n=1800 einbinden muss!
>
Also, mir scheint, die Tschebyschow-Ungleichung ist bei dieser Aufgabenstellung nicht gemeint. Die ist eigentlich immer viel zu ungenau!
Versuchen wir's doch mal so: [mm] 2*\Phi(\bruch{a}{200})-1 \ge [/mm] 0,95
Umgeformt: [mm] \Phi(\bruch{a}{200}) \ge [/mm] 0,975
Und daraus: [mm] \bruch{a}{200} \ge [/mm] 1,96 <=> a [mm] \ge [/mm] 392.
Somit wäre bei mir das kleinstmögliche Intervall: [ 896h ; 1680h ]
Ach ja: Zu Deiner "Frage" bezüglich der Kettenlänge n=1800 der Stichprobe: Was die Zahl hier soll, weiß ich auch nicht. Vielleicht wird diese Zahl bei einer späteren Teilaufgabe gebraucht; hier jedoch spielt sie keine Rolle!
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Hi
danke, dass macht sinn, und hat geholfen, sorry bin noch nicht so gut darin mit den Formelzeichen und so...
kann sein, dass ich die Kettenlänge hier für nicht brauchte, ich soll nämlich noch weiterhin sagen,
wie groß dich Stichprobe mind. sein muss damit dass Intervall bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 0,95 max. 60h beträgt,
dazu fällt mir leider wieder nicht ein wie ich hier dass n integrieren soll, da bei einer Normalverteilung ja nicht [mm] \mu=n*p [/mm] gilt, oder? Hatte gehofft dass ich mit Hilfe der Lösung für die erste Frage dann allein weiter komme, aber in der brauchte man dass n ja nun nicht. Falls mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte, wär das echt klasse!
Christina
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> Hi
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> danke, dass macht sinn, und hat geholfen, sorry bin noch
> nicht so gut darin mit den Formelzeichen und so...
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> kann sein, dass ich die Kettenlänge hier für nicht
> brauchte, ich soll nämlich noch weiterhin sagen,
> wie groß dich Stichprobe mind. sein muss damit dass
> Intervall bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 0,95
> max. 60h beträgt,
>
> dazu fällt mir leider wieder nicht ein wie ich hier dass n
> integrieren soll, da bei einer Normalverteilung ja nicht
> [mm]\mu=n*p[/mm] gilt, oder? Hatte gehofft dass ich mit Hilfe der
> Lösung für die erste Frage dann allein weiter komme, aber
> in der brauchte man dass n ja nun nicht. Falls mir jemand
> einen kleinen Denkanstoß geben könnte, wär das echt
> klasse!
Also ich habe das Gefühl, dass die Aufgabe anders zu verstehen ist. Irritierend (und meiner Ansicht nach schlichtweg falsch) ist die Angabe der mittleren Brenndauer [mm] $\mu$ [/mm] im Aufgabentest. hier ist doch wohl nur gemeint, dass das arithmetische Mittel [mm] $\overline{x}_n$ [/mm] der n gemessenen Werte 1288 h beträgt. Gesucht ist also ein Intervall rund um diesen Schätzwert für [mm] $\mu$. [/mm] Allgemein lautet ja das Vertrauensintervall (unter Normalverteilungsannahmen) für [mm] $\mu$
[/mm]
[mm]I=[\overline{X}_n-u_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\overline{X}_n+u_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}],[/mm]
wobei [mm] $u_{1-\alpha/2}$ [/mm] das entsprechende Quantil der Standardnormalverteilung bezeichnet und [mm] 1-\alpha [/mm] die vorgegebene Sicherheitswkt. ist. Für dieses Intervall gilt nämlich
[mm]P(\mu\in I)=P(\overline{X}_n-u_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \mu\le \overline{X}_n+u_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})[/mm]
[mm]=P(-u_{1-\alpha/2}\le \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_n-\mu)\le u_{1-\alpha/2})[/mm]
[mm]=\Phi(u_{1-\alpha/2})-\Phi(-u_{1-\alpha/2})=1-\alpha/2 - \alpha/2=1-\alpha[/mm]
Nun erhält man ein konkretes Schätz- (oder auch Vertrauens-)intervall, indem man alle verfügbaren Daten (samt der Realisierung [mm] $\overline{x}_n=1288$ [/mm] einsetzt). Machst Du das mal?
Mit diesen Informationen solltest Du auch die zweite Aufgabe lösen können. n spielt ja doch eine gewichtige Rolle, wie Du siehst.
Viele Grüße
Brigitte
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danke für die antwort, aber leider verstehe ich deine formeln überhaupt nicht... ich weiß überhaupt nicht für was die einzelnen variabeln stehen geschweige denn wie ich an diese Formel für das Intervall, komme Wir hatten bisher nur Intervalle einer (oder so wie bei einer) Binomialverteilten zufallsgröße berechnet (zumindest glaub ich das..)
Ich weiß auch nicht was ein Quantil ist..
Hört sich vielleicht blöd an, aber gibt's das ganze auch noch in einfach?
Ich versteh's nämlich einfach nicht..
Gruß
Christina
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, man weiß, dass das standardisierte Stichprobenmittel
[mm] $\frac{\sqrt{n}}{\sigma} (\overline{X_n} [/mm] - [mm] \mu)$
[/mm]
normalverteilt ist, d.h. man kann [mm] $g_u$ [/mm] und [mm] $g_o$ [/mm] so bestimmen, dass
$1- [mm] \Phi(g_0) [/mm] = [mm] P\left( \frac{\sqrt{n}}{\sigma} (\overline{X_n} - \mu) \ge g_o \right) \le \frac{0.05}{2}$
[/mm]
und
[mm] $\Phi(g_u) [/mm] = [mm] P\left( \frac{\sqrt{n}}{\sigma} (\overline{X_n} - \mu) \le g_u \right) \le \frac{0.05}{2}$.
[/mm]
Bestimme also [mm] $g_0$ [/mm] und [mm] $g_u$ [/mm] so, dass die beiden obigen Gleichungen stimmen. Dies kannst du ja einfach durch einen kurzen Blick auf die Tabelle der Verteilungsfunktion der Normalverteilung erreichen.
Jetzt kann man aber doch die beiden obigen Gleichungen umstellen. Mit den obigen [mm] $g_o$ [/mm] und [mm] $g_u$ [/mm] gilt aber:
[mm] $P\left( \mu \le \overline{X_n} - g_o \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \le \frac{0.05}{2}$
[/mm]
und
[mm] $P\left( \mu \ge \overline{X_n} + g_u \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \le \frac{0.05}{2}$.
[/mm]
Somit folgt:
$P [mm] \left( \overline{X_n} - g_o \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \overline{X_n} + g_u \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \ge [/mm] 0.9$.
Somit ist
[mm] $[\overline{X_n} [/mm] - [mm] g_o \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X_n} [/mm] + [mm] g_u \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
[/mm]
das entsprechende Konfidenzintervall für [mm] $\mu$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mi 13.04.2005 | | Autor: | ChristinaB |
Hey Danke,
Hab mir das ganze auch noch mal in meinen Unterlagen angeguckt und habs mit eurer Hilfe jetzt verstanden, hab auch ein gutes Ergebniss raus!!
Danke
Christina
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