Interpretation Borel-Cantelli < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 So 04.03.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen,
Borel-Cantelli 1. sagt ja:
[mm] \sum P(A_n) < \infty \Rightarrow P(A)=0 \hspace{12pt} (1)[/mm]
wobei $A$ der [mm] $\limsup$ [/mm] der Mengen [mm] $A_n$ [/mm] ist. Der Limsup von Mengen bedeutet ja, dass für [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] in unendlichen vielen [mm] $A_n$ [/mm] liegt. Wieso kann man nun sagen wenn $(1)$ gilt, dass P-f.s. [mm] $A_n$ [/mm] nur endlich vielmal eintrifft?
Dankeschööööööööön
hula
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limsup ist also das Ereignis, dass unendliche viele der [mm] $A_n$ [/mm] eintreten.
Jetzt sagt (1) aus, dass wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten der [mm] $A_n$ [/mm] endlich ist, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass unendlich viele der [mm] $A_n$ [/mm] eintreten gleich Null.
Ergo gilt:
Jetzt sagt (1) aus, dass wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten der [mm] $A_n$ [/mm] endlich ist, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass endlich viele der [mm] $A_n$ [/mm] eintreten gleich 1.
Ergo gilt:
Jetzt sagt (1) aus, dass wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten der [mm] $A_n$ [/mm] endlich ist, so treten P-f.s. nur endlich viele der [mm] $A_n$ [/mm] ein.
Definition von P-f.s.:Mit [mm] $(\Omgea,\mathcal{A},P)$ [/mm] heißt ein Ereignis [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] P-f.s., falls $P(A)=1$ gilt.
Man sieht ja auch formal (1) schnell:
[mm] $P(A)=\lim_{n\to \infty}P\left( \cup_{m=n}^\infty A_m \right)\leq \lim_{n\to \infty}\sum_{m=n}^\infty P(A_m)=0$
[/mm]
mit Stetigkeit von oben und [mm] $\sigma$-Subadditivität [/mm] beliebiger Maße auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$
[/mm]
Die letzte Gleichheit gilt da der Restwert konvergenter Reihen gegen Null konvergiert.
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