Interpolationspolynom bestimme < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Interpolationspolynom vom Grad 3 fürr folgende Stützstellen:
x -1 0 1 2
f(x) 0 1 6 21 |
Hallo Leute,
bin grad ein wenig beim üben und komm über diese Beispiel nicht drüber!
Wollte Newton-Verfahren anwenden, doch das hat nicht geklappt, weil ich beim Aufstellen einfach nicht weiterkomm!
lg, Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mi 07.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
durch einsetzten der vorgegebenen x-Werte in das Polynom
[mm] p(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
erhält man ein 4x4 Gleichungssystem der Form
Ax=b
mit
[mm] A=\pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 }
[/mm]
[mm] x=\vektor{a \\ b \\ c \\ d } [/mm] und [mm] b=\vektor{0 \\ 1 \\ 6 \\21 }
[/mm]
daraus folgt
[mm] x=A^{-1}b [/mm] also [mm] x=\vektor{a \\ b \\ c \\ d }=\vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
mfg ullim
|
|
|
| |
|
Hey,
wow - sag ich da nur! vielen, vielen Dank!
lg, Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:14 Do 15.03.2007 | | Autor: | chyval |
Mit [mm] [x_1x_0]={\frac {y_1-y_0} {x_1-x_0}}={\frac{1-0} {0+1}}=1,\ [x_2x_1]={\frac {y_2-y_1} {x_2-x_1}}={\frac{6-1} {1-0}}=5,\ [x_3x_2]={\frac {y_3-y_2} {x_3-x_2}}={\frac{21-6} {2-1}}=15,
[/mm]
[mm] [x_2x_1x_0] [/mm] = [mm] {\frac{x_2x_1 - x_1x_0} {x_2-x_0}}={\frac{5-1} {1+1}}=2, [x_3x_2x_1] [/mm] = [mm] {\frac{x_3x_2 - x_2x_1} {x_3-x_1}}={\frac{15-5} {2-0}}=5,
[/mm]
[mm] [x_3x_2x_1x_0] [/mm] = [mm] {\frac{x_3x_2x_1 - x_2x_1x_0} {x_3-x_0}}= {\frac{5-2} {2+1}}=1 [/mm]
gilt für das Newtonsche Interpolationspolynom:
N(x) = [mm] y_0 [/mm] + [mm] [x_1x_0](x-x_0) [/mm] + [mm] [x_2x_1x_0](x-x_0)(x-x_1) [/mm] + [mm] [x_3x_2x_1x_0](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
[/mm]
N(x) = 0 + 1(x+1) + 2(x+1)(x-0) + 1(x+1)(x-0)(x-1)
N(x) = 1 + 2x + [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] x^3, [/mm]
z.B. N(2) = 1 + 4 + 8 + 8 = 21,
was offensichtlich einfacher zu berechnen ist ein lineares Gleichungssystem mit vier Unbekannten zu lösen.
Liebe Grüße
chyval
|
|
|
|
