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Hallo,Zusammen
Ich habe hier eine Aufgabe bekommt, und weisse nicht wie man das machen kann. Kann mir da bitte jemand helfen?
Es soll eine Näherung für ln(2) bestimmt werden. Bekannt sind Ihnen lediglich die Werte [mm] e^0=1 [/mm] und [mm] e=e^1=2.7182818284. [/mm] Außerdem kennen Sie noch die Funktionalgleichung [mm] e^{x+y}=e^xe^y [/mm] .
Zur Bestimmung der Näherung soll das folgende nahe liegende Verfahren benutzt werden:
Die Näherung wird durch die Auswertung an der Stelle Null eines Interpolationspolynoms (Darstellung in der Newtonschen Form!) ermittelt. Als Interpolationspolynom wird dafür einmal das Interpolationspolynom in den Punkten
[mm] (e^0-2,0),(e^1-2,1)
[/mm]
und ein anderes Mal das Interpolationspolynom in den Punkten
[mm] (e^{-1}-2,-1),(e^0-2,0),(e^1-2,1),(e^2-2,2)
[/mm]
benutzt. Machen Sie sich klar, dass die so erzielten Werte vernünftig sind.Welche Näherungen
ergeben sich? Sind die erzielten Näherungen gut?
Vielen Dank!
MfG
sjchris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Do 14.08.2008 | | Autor: | max3000 |
Das ganze nennt sich Extrapolation.
Einfach mal googeln.
Ansonsten musst du doch einfach nur das machen, was dasteht.
Sag doch dazu wo genau du deine Probleme hast.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Do 14.08.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo sjchris,
wie Deine Überschrift schon sagt, handelt es sich um eine Interpolation, also eine Funktionswertenäherung innerhalb des Stützstellenbereiches (während bei einer Extrapolation ein Wert ausserhalb dieses Bereiches berechnet wird).
Auch mir ist nicht klar, wo Dein Problem liegt, insbesondere ob es "nur" in der Anwendung von Matlab liegt, wo es eingeordnet ist, oder ob Du schon vorher Verständnisschwierigkeiten hast. Deshalb hier zunächst nur einige Tipps:
1. Das Brimborium mit [mm] e^{0} [/mm] und [mm] e^{1} [/mm] soll wohl nur motivieren, warum man auf die vorgegebene "nahe liegende" Weise, nämlich durch Interpolation, ln(2) berechnen soll; die Funktionalgleichung erlaubt es dann auch [mm] e^{2} [/mm] und [mm] e^{-1} [/mm] daraus zu berechnen, was man zusätzlich bei den Stützstellen benötigt.
2. Die beiden zu berechnenden Interpolationspolynome, nennen wir sie f und h (das eine eine Gerade, das andere kubisch) sollen ja eine Funktion annähern, die Frage ist zunächst welche.
3. Betrachtet man die jeweiligen Stützstellen bzw. den Hinweis darauf, dass f(0) bzw. h(0) den Näherungswert für ln(2) ergeben sollen, liegt es nahe, g(x) = ln(x+2) zu approximieren.
4. Die Berechnung der beiden Interpolationspolynome kann natürlich mit der "Newton-Interpolation" erfolgen, aber genauso gut kann man auch die 2 bzw. 4 Stützstellen in f bzw. h einsetzen und das lineare Gleichungssystem mit 2 bzw. 4 Unbekannten lösen, was direkt und vielleicht schneller die Koeffizienten der beiden Polynome liefert.
5. Die Frage der Güte der Näherungen kann man so beantworten, dass man die relativen Fehler der beiden Näherungswerte gegenüber dem tatsächlichen Wert für ln(2) angibt.
Hoffe, Du kommst damit klar.
Gruß
Uli
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