Interpolationspolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 So 13.05.2007 | | Autor: | butumba |
Hallo ihr da draußen.
Vielleicht hat einer von euch ja ne super Idee zu meiner Aufgabe.
Man berechne jeweils ein Interpolationspolynom p dritten Grades und gebe p(4) an.
a) p(0)=1, p(1)=2, p(2)=4, p(3)=8
b)p(0)=3, p(1)=30, p(2)=105, p(3)=252
Ich danke im voraus und verbleibe mit besten Grüßen
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Hallo butumba
> Vielleicht hat einer von euch ja ne super Idee zu meiner
> Aufgabe.
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> Man berechne jeweils ein Interpolationspolynom p dritten
> Grades und gebe p(4) an.
> a) p(0)=1, p(1)=2, p(2)=4, p(3)=8
>
> b)p(0)=3, p(1)=30, p(2)=105, p(3)=252
>
Informiere Dich mal über Lagrange-Polynome, z.B. in der Wikipedia:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Polynom
Das müßte Dir weiterhelfen.
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 So 13.05.2007 | | Autor: | butumba |
Hmm damit komme ich aber noch nicht so recht weiter. Auf Wiki war ich auch schon...
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Schauen wir uns die a) mal an
> Man berechne jeweils ein Interpolationspolynom p dritten
> Grades und gebe p(4) an.
> a) p(0)=1, p(1)=2, p(2)=4, p(3)=8
Wir haben jeweils (n+1) Paare [mm](x_i,p(x_i)) = (x_i,y_i)[/mm] für [mm](i=0,...,n)[/mm] gegeben, also Paare von Stützstellen und Funktionswerten. In der Aufgabe ist n=3. Die Interpolation nach Langrange benutzt die sogenannten Lagrange-Polynome
[mm]L_i(x) = \produkt_{j=0, j \not= i}^{n} \bruch{x-x_j}{x_i-x_j}[/mm] für [mm](i=0,...,n)[/mm]
Das gesuchte Interpolationspolynom [mm]p_n(x)[/mm] vom Grad n berechnet sich daraus zu
[mm]p_n(x)=\summe_{i=0}^{n}L_i(x)*y_i[/mm]
Nun zur Aufgabe. Wir berechnen erst einmal die Lagrange-Polynome:
[mm]L_0(x) = \produkt_{j=0, j \not= 0}^{3} \bruch{x-x_j}{x_i-x_j} = \bruch{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} = \bruch{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)}= -\bruch{1}{6} (x-1)(x-2)(x-3)[/mm]
[mm]L_1(x) = \produkt_{j=0, j \not= 1}^{3} \bruch{x-x_j}{x_i-x_j} = \bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} = \bruch{x(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)}= \bruch{1}{2} x(x-2)(x-3)[/mm]
[mm]L_2(x) = \produkt_{j=0, j \not= 2}^{3} \bruch{x-x_j}{x_i-x_j} = \bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} = \bruch{x(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)}= -\bruch{1}{2} x(x-1)(x-3)[/mm]
[mm]L_3(x) = \produkt_{j=0, j \not= 3}^{3} \bruch{x-x_j}{x_i-x_j} = \bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)} = \bruch{x(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)}= \bruch{1}{6} x(x-1)(x-2)[/mm]
Das Interpolationspolynom ist damit
[mm]p_3(x)=-\bruch{1}{6} (x-1)(x-2)(x-3)*1+\bruch{1}{2} x(x-2)(x-3)*2-\bruch{1}{2} x(x-1)(x-3)*4+\bruch{1}{6} x(x-1)(x-2)*8[/mm]
[mm] p_3(4) [/mm] kannst Du selber ausrechnen und die b) müßtest Du nach demselben Verfahren jetzt auch schaffen.
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 So 13.05.2007 | | Autor: | butumba |
Danke, jetzt hab ichs gerafft. Vielen Dank auch für deine Mühe.
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