Interpolationspolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne jeweils ein Interpolationspolynom p dritten Grades und gebe p(4) an.
(a) p(0) = 1, p(1) = 2, p(2) = 4, p(3) = 8.
(b) p(0) = 3, p(1) = 30, p(2) = 105, p(3) = 252 |
Hi, wollte meine ergebnisse hier nur mal posten ob das so richtig ist.
a) [mm] [x_{1}x_{0}]=\bruch{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\bruch{1-0}{2-1}=1; [x_{2}x_{1}]=2; [x_{3}x_{2}]=4
[/mm]
[mm] [x_{2}x_{1}x_{0}]=\bruch{1}{2}; [x_{3}x_{2}x_{1}]=1
[/mm]
[mm] [x_{3}x_{2}x_{1}x_{0}]=\bruch{1}{6}; [/mm]
Interpolationspolynom
N(x)= 1 + x + [mm] \bruch{1}{2}x(x-1) [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}x(x-1)(x-2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{5}{6}x [/mm] + 1
N(4)= 15
b)
...
N(x) = [mm] 4x^{3} [/mm] + [mm] 12x^{2} [/mm] + 11x + 3
N(4)= 495
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 13.05.2007 | | Autor: | annoe |
Ja genau, das ist richtig!
Zwar komme ich mit deinen lösungsweg nicht ganz klar.
Eine andere Möglichkeit wäre, dass du ein Gleichungssystem mit Matrixen aufstellst.
[mm] \vektor{f(x0) \\f(x1)\\f(x2)\\f(x3)} =\vektor{a0 \\ a1\\a2\\a3}*\pmat{ x0^0 & x0^1 & x0^2 & x0^3 \\ x1^0 & x1^1 & x1^2 & x1^3 \\ ... & ... ... &...\\ ...} [/mm]
dann setzt du einfach deine werte ein :
[mm] \vektor{0 \\2\\4\\8} =\vektor{a0 \\ a1\\a2\\a3}*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27} [/mm]
so damit bringst deine matrix auf die Id und das ergibt:
[mm] \vektor{1 \\5/6\\0\\1/6} =\vektor{a0 \\ a1\\a2\\a3}*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]
dann ausmultipliziert ja gleich dein a0-a3
lg
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