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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:42 Mo 15.06.2009 | | Autor: | tony1v |
| Aufgabe | Interpolationsoperator
Gegeben seien für ein n [mm] \in \IN [/mm] die paarweise verschiedenen Stützstellen x0, x1, . . . , xn. Es bezeichne
P den Interpolationsoperator, der zu einer Funktion [mm] f:\IR\to \IR [/mm] das korrespondierende
Interpolationspolynom [mm] p_{n }\in P_{n} (P_{n}: [/mm] Menge der Polynome mit Grad höchstens n) liefert. Er
ist definiert als P(f) := [mm] p_n [/mm] mit
[mm] p_{n}(x) =\summe_{j=0}^{n}f(x_{j}).\produkt_{k=0,k\not=j}^{n} (x-x_{k})/(x_{j} [/mm] - [mm] x_{k})
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass der Operator P linear bezüglich des Arguments f ist.
b) Zeigen Sie für den Operator P die Projektionseigenschaft [mm] P^2 [/mm] = P, d.h. es gilt
P(P(f)) = P(f) für alle f.
c) Es sei mit [mm] P_m [/mm] der Operator bezeichnet, der das Interpolationspolynom [mm] p_m [/mm] zu den
Stützstellen x0, x1, . . . , xm für ein m < n liefert. Zeigen Sie die Kommutativität
[mm] P_{m-1}P_{m} [/mm] = [mm] P_{m}P_{m-1} [/mm] der Operatoren, d.h. es gilt
[mm] P_{m-1}(P_{m}(f)) [/mm] = [mm] P_{m}(P_{m-1}(f)) [/mm] für alle f.
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a) für die linearität habe ich schon gemacht
b) [mm] P^{2} [/mm] = P
[mm] P(P(f))=P(\summe_{j=0}^{n}f(x_{j}).\produkt_{k=0,k\not=j}^{n} (x-x_{k})/(x_{j} [/mm] - [mm] x_{k}))=
[/mm]
[mm] \summe_{j=0}^{n}\summe_{j=0}^{n}f(x_{j}).\produkt_{k=0,k\not=j}^{n} (x-x_{k})/(x_{j} [/mm] - [mm] x_{k}).\produkt_{k=0,k\not=j}^n (x-x_{k})/(x_{j} [/mm] - [mm] x_{k})
[/mm]
und dann weiss ich echt nicht wie kann ich weiter machen.
ich brauche dringend Hilfe Bitte
für c habe ich keine ahnung
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> Interpolationsoperator
> Gegeben seien für ein n [mm]\in \IN[/mm] die paarweise verschiedenen
> Stützstellen x0, x1, . . . , xn. Es bezeichne
> P den Interpolationsoperator, der zu einer Funktion
> [mm]f:\IR\to \IR[/mm] das korrespondierende
> Interpolationspolynom [mm]p_{n }\in P_{n} (P_{n}:[/mm] Menge der
> Polynome mit Grad höchstens n) liefert. Er
> ist definiert als P(f) := [mm]p_n[/mm] mit
>
> [mm]p_{n}(x) =\summe_{j=0}^{n}f(x_{j}).\produkt_{k=0,k\not=j}^{n} (x-x_{k})/(x_{j}[/mm]
> - [mm]x_{k})[/mm]
>
> b) Zeigen Sie für den Operator P die Projektionseigenschaft
> [mm]P^2[/mm] = P, d.h. es gilt
> P(P(f)) = P(f) für alle f.
> b) [mm]P^{2}[/mm] = P
>
> [mm]P(P(f))=P(\summe_{j=0}^{n}f(x_{j}).\produkt_{k=0,k\not=j}^{n} (x-x_{k})/(x_{j}[/mm]
> - [mm]x_{k}))=[/mm]
>
> [mm]\summe_{j=0}^{n}\summe_{j=0}^{n}f(x_{j}).\produkt_{k=0,k\not=j}^{n} (x-x_{k})/(x_{j}[/mm]
> - [mm]x_{k}).\produkt_{k=0,k\not=j}^n (x-x_{k})/(x_{j}[/mm] -
> [mm]x_{k})[/mm]
Hallo,
ich würde bei Aufgabe b) gar nicht mit den Produkten rumwurschteln.
Ihr hattet doch bestimmt besprochen, daß es genau ein Polynom vom Grad n gibt, welches durch n+1 vorgegebene Stützstellen geht.
Mit P(P(f)) suchst Du nun das Polynom vom Grad n, welches an den Stellen [mm] x_i [/mm] durch [mm] P(f)(x_i) [/mm] verläuft. Da nun P(f) ein Polynom vom Grad n ist ...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Mo 15.06.2009 | | Autor: | tony1v |
danke Schön Angela da mir die zeit leider sehr knapp ist,würdest du bitte noch genauer erklären.
was ist mit die aufgabe c hast du vielleicht eine Idee
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> danke Schön Angela da mir die zeit leider sehr knapp
> ist,würdest du bitte noch genauer erklären.
Hallo,
wie weit bist Du denn gekommen? Was hast Du verstanden, was ist Dir unklar?
> was ist mit die aufgabe c hast du vielleicht eine Idee
Hast Du Dir denn schon klargemacht, worum es geht? Das müßte man ja zuerst tun - und so würde auch ich beginnen, wenn ich die Aufgabe lösen wollte.
Gruß v. Angela
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