Interpolationsfehler < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mi 12.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Gegeben seien 23 verschiedene Punkte im Intervall[-1,1] und das Interpolationspolynom p vom Höchstgrad 22, welches die Funktion von [mm] f(x)=\cosh(x)an [/mm] diesen 23 Punkten interpoliert. Zeigen Sie, dass
[mm] |\bruch{p(x)-f(x)}{f(x)}|\leq 5*10^{-16} [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] [-1,1].
Ich stelle meine Lösung mal vor und wüsste gerne, was ich falsch mache, denn ich kann nur zeigen, dass der Ausdruck KLEINER als die rechte Seite ist und nicht KLEINER-GLEICH. |
Für meine Idee habe ich wieder folgenden Abschnitt aus der Vorlesung verwendet:
"Für den Interpolationsfehler erhalten wir somit die Abschätzung [mm] |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|\bruch{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}L(x)|, [/mm] wobei [mm] L(x):=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n).
[/mm]
Wegen [mm] |x-x_i|\leq [/mm] b-a folgt sofort:
[mm] |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|f^{(n+1)}(y)|\bruch{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}."
[/mm]
Letztere Abschätzung habe ich angewandt:
[mm] |p(x)-f(x)|\leq \max_{y\in [-1,1]}|\underbrace{\sinh (y)}_{=f^{(23)}}|*\bruch{(1-(-1))^{23}}{23!}=\underbrace{\underbrace{\max_{y\in [-1,1]}|\sinh(x)|}_{=1,1752, y=\pm 1}*1,25517*10^{-38}}_{=1,47507*10^{-38}}
[/mm]
Weiter gilt dann, da [mm] |\cosh(x)|\geq [/mm] 1 [mm] \forall x\in [/mm] [-1,1]:
[mm] |\bruch{p(x)-f(x)}{f(x)}|\leq |\bruch{1,47507*10^{-38}}{\cosh(x)}|=\bruch{|1,47507*10^{-38}|}{|\cosh(x)|}\leq 1,47507*10^{-38}<5*10^{-16}
[/mm]
Wie gesagt, ich weiß nicht, wieso man [mm] \leq [/mm] zeigen soll bzw. wie man das macht.
Danke für Hilfe!
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Hallo dennis2,
> Gegeben seien 23 verschiedene Punkte im Intervall[-1,1] und
> das Interpolationspolynom p vom Höchstgrad 22, welches die
> Funktion von [mm]f(x)=\cosh(x)an[/mm] diesen 23 Punkten
> interpoliert. Zeigen Sie, dass
>
> [mm]|\bruch{p(x)-f(x)}{f(x)}|\leq 5*10^{-16}[/mm] für alle [mm]x\in[/mm]
> [-1,1].
>
>
> Ich stelle meine Lösung mal vor und wüsste gerne, was ich
> falsch mache, denn ich kann nur zeigen, dass der Ausdruck
> KLEINER als die rechte Seite ist und nicht KLEINER-GLEICH.
> Für meine Idee habe ich wieder folgenden Abschnitt aus
> der Vorlesung verwendet:
>
> "Für den Interpolationsfehler erhalten wir somit die
> Abschätzung [mm]|f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|\bruch{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}L(x)|,[/mm]
> wobei [mm]L(x):=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n).[/mm]
>
> Wegen [mm]|x-x_i|\leq[/mm] b-a folgt sofort:
> [mm]|f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|f^{(n+1)}(y)|\bruch{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}."[/mm]
>
>
> Letztere Abschätzung habe ich angewandt:
>
> [mm]|p(x)-f(x)|\leq \max_{y\in [-1,1]}|\underbrace{\sinh (y)}_{=f^{(23)}}|*\bruch{(1-(-1))^{23}}{23!}=\underbrace{\underbrace{\max_{y\in [-1,1]}|\sinh(x)|}_{=1,1752, y=\pm 1}*1,25517*10^{-38}}_{=1,47507*10^{-38}}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]|p(x)-f(x)|\leq \max_{y\in [-1,1]}|\underbrace{\sinh (y)}_{=f^{(23)}}|*\bruch{(1-(-1))^{23}}{23!}=\underbrace{\underbrace{\max_{y\in [-1,1]}|\sinh(x)|}_{=1,1752, y=\pm 1}*\blue{3,24486*10^{-16}}}_{=\blue{3,8134*10^{-16}}}[/mm]
>
> Weiter gilt dann, da [mm]|\cosh(x)|\geq[/mm] 1 [mm]\forall x\in[/mm] [-1,1]:
>
> [mm]|\bruch{p(x)-f(x)}{f(x)}|\leq |\bruch{1,47507*10^{-38}}{\cosh(x)}|=\bruch{|1,47507*10^{-38}|}{|\cosh(x)|}\leq 1,47507*10^{-38}<5*10^{-16}[/mm]
>
>
> Wie gesagt, ich weiß nicht, wieso man [mm]\leq[/mm] zeigen soll
> bzw. wie man das macht.
Wenn die letzte Abschätzung nehme und das auf den in der Aufgabe angegebenen Wert setze, dann kommt eine geringfügig größere Intervallbreite heraus.
>
> Danke für Hilfe!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 13.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]|p(x)-f(x)|\leq \max_{y\in [-1,1]}|\underbrace{\sinh (y)}_{=f^{(23)}}|*\bruch{(1-(-1))^{23}}{23!}=\underbrace{\underbrace{\max_{y\in [-1,1]}|\sinh(x)|}_{=1,1752, y=\pm 1}*\blue{3,24486*10^{-16}}}_{=\blue{3,8134*10^{-16}}}[/mm]
>
>
Ja, stimmt! Rechenfehler! Danke!
> >
> > Weiter gilt dann, da [mm]|\cosh(x)|\geq[/mm] 1 [mm]\forall x\in[/mm] [-1,1]:
> >
> > [mm]|\bruch{p(x)-f(x)}{f(x)}|\leq |\bruch{1,47507*10^{-38}}{\cosh(x)}|=\bruch{|1,47507*10^{-38}|}{|\cosh(x)|}\leq 1,47507*10^{-38}<5*10^{-16}[/mm]
>
> >
> >
> > Wie gesagt, ich weiß nicht, wieso man [mm]\leq[/mm] zeigen soll
> > bzw. wie man das macht.
>
>
> Wenn die letzte Abschätzung nehme und das auf den in der
> Aufgabe angegebenen Wert setze, dann kommt eine
> geringfügig größere Intervallbreite heraus.
>
Was meinst Du damit, das habe ich leider nicht verstanden.
>
> >
> > Danke für Hilfe!
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo dennis2,
> >
> > Wenn die letzte Abschätzung nehme und das auf den in der
> > Aufgabe angegebenen Wert setze, dann kommt eine
> > geringfügig größere Intervallbreite heraus.
> >
> Was meinst Du damit, das habe ich leider nicht verstanden.
> >
Nun, wenn ich das Intervall [mm]\left[-u,\ u\right][/mm] betrachte,
dann gilt die folgende Formel für den Interpolationsfehler:
[mm]\vmat{f\left(x\right)-p\left(x\right)}\le \max_{v \in \left[-u, \ u \right]}\vmat{\sinh\left(v\right)}*\bruch{\left(2u\right)^{23}}{23!}=\sinh\left(u\right)*\bruch{\left(2u\right)^{23}}{23!} \le 5*10^{-16} [/mm]
Es wird nun die Gleichung
[mm]\sinh\left(u\right)*\bruch{\left(2u\right)^{23}}{23!} = 5*10^{-16} [/mm]
gelöst.
> > >
> > > Danke für Hilfe!
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Do 13.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das habe ich verstanden, aber was möchtest Du mir damit in Bezug auf meine Lösung mitteilen? Dass sie falsch bzw. ungenau ist?
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Hallo dennis2,
> Das habe ich verstanden, aber was möchtest Du mir damit in
> Bezug auf meine Lösung mitteilen? Dass sie falsch bzw.
> ungenau ist?
Nun, daß das Intervall möglicherweise ein anderes ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Do 13.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Okay, das ist möglich.
Ich kenne aber keine andere Möglichkeit die Aufgabe anzugehen, und wieso Intervall?
Man soll doch gar kein Intervall ermitteln.
[Entschuldige, wenn Dich Diese Fragen vielleicht entsetzen, weil sie so blöd sind.]
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Hallo dennis2,
> Okay, das ist möglich.
>
> Ich kenne aber keine andere Möglichkeit die Aufgabe
> anzugehen, und wieso Intervall?
Nun, weil Du in Deiner Rechnung nur auf "<" kommst.
>
> Man soll doch gar kein Intervall ermitteln.
>
> [Entschuldige, wenn Dich Diese Fragen vielleicht entsetzen,
> weil sie so blöd sind.]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 13.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Achso, das meinst Du!
Ja, das hat mich ja schon ganz zu Beginn gestört.
Ich verstehe das auch nicht, wieso das so ist.
Ich habe schon darüber nachgedacht, aber weiß nicht, wie ich das ändern kann.
Vielleicht heißt es in der Aufgabe [mm] \leq, [/mm] aber es genügt, wenn man < zeigt?... |
Mir hat jemand Folgendes erklärt und zwar dazu, warum angeblich auch nur < ausreicht:
Für den Interpolationsfehler erhalten wir somit die Abschätzung [mm] |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|\bruch{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}L(x)| [/mm]
Das ist sicher nicht falsch. Als Ordnungsrelation betrachtet, macht sogar nur <= Sinn. Daher kannst du das auch schreiben. (Blickwinkel: Algebra, Sonstiges)
Vielleicht steht da in der Aufgabe [mm] \leq, [/mm] weil man auch die andere Formel nehmen könnte?
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Hallo dennis2,
> Achso, das meinst Du!
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> Ja, das hat mich ja schon ganz zu Beginn gestört.
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> Ich verstehe das auch nicht, wieso das so ist.
>
> Ich habe schon darüber nachgedacht, aber weiß nicht, wie
> ich das ändern kann.
>
> Vielleicht heißt es in der Aufgabe [mm]\leq,[/mm] aber es genügt,
> wenn man < zeigt?...
Das ist gut möglich.
> Mir hat jemand Folgendes erklärt und zwar dazu, warum
> angeblich auch nur < ausreicht:
>
> Für den Interpolationsfehler erhalten wir somit die
> Abschätzung [mm]|f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|\bruch{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}L(x)|[/mm]
>
> Das ist sicher nicht falsch. Als Ordnungsrelation
> betrachtet, macht sogar nur <= Sinn. Daher kannst du das
> auch schreiben. (Blickwinkel: Algebra, Sonstiges)
>
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> Vielleicht steht da in der Aufgabe [mm]\leq,[/mm] weil man auch die
> andere Formel nehmen könnte?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Do 13.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
In Ordnung, dann belasse ich es jetzt mal bei meinem Lösungsweg und bedanke mich für Deine geduldige Hilfe!!
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