Interpolation < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Di 03.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe kurz zwei Fragen zur Eindeutigkeit von Polynominterpolationen.
Ich habe hier einen Satz, der besagt, dass es für [mm]\ n+1[/mm] Stützstellen genau ein Interpolationspolynom vom Grad [mm]\ n[/mm] gibt.
1) Also ich stell mir das mal vor, ich soll eine quadratische Funktion (z.B. Parabel) interpolieren und habe drei Punkte gegeben, durch die sowohl f als auch das Polynom gehen. Dann soll es ja jetzt genau ein Interpolationspolynom zu geben. Aber wenn ich mir jetzt mal die drei gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem zeichne, dann kann ich doch mehr als einen Verlauf durch diese Punkte finde. Ich meine, die Verbindungen der einzelnen Punkte müssen direkt zueinander laufen, ohne noch irgendwelche Extrema zu passieren, aber der Weg kann ja z.B. mal mehr gebault oder mal weniger gebeult sein in der Interpolation/Annäherung. Warum gibts dann genau nur eins?
2) Das führt mich schon zu meiner nächsten Frage. In der Schule hat man gelernt, dass es Polynom vom Grad [mm]\ n[/mm] durch [mm]\ n+1[/mm] Punkte eindeutig bestimmt ist. Ist dann das eindeutige Interpolationspolynom genau die Funktion f? Aber dann ist es ja kein Interpolationspolynom mehr, oder?
Aber auch hier nochmal das mit dem eindeutig bestimmt (die Schulzeit ist schon was her  ). Ich kann mir das wie in Frage 1) beschrieben irgendwie nicht vorstellen. Nur bei einer Geraden wills mir in den Kopf, wenn ich zwei Punkte hab, dann kann man die nur mit einem Strich verbinden. Aber wie gesagt, bei quadratischen Funktion kann ich meine Striche mal mehr ausbeulen, mal weniger. Oder wenn das Extremum bei der Parabel gar nicht unter den drei gegebenen Punkten ist, dann könnt ich beim zeichen schon eine völlig falsche (bzw. nicht existierende) Nullstelle treffen, und zack, wäre das vielleicht nicht mehr die Parabel, die ich doch eigentlich erhalten sollte mit drei Punkten (habs mir auch mal hingezeichnet).
Kann mir das jemand erklären?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine allgemeine parabel ist doch gegeben durch [mm] f(x)=ax^2+bx+c
[/mm]
durch drei Punkte ist sie eindeutig festgelegt. (3 Gleichungen, 3 Unbekannte ne ander Parabel laeuft da nicht durch. (falls die 3 Punkte zufaellig auf ner geraden liegen kommt halt keine echte parabel raus sondern mit a= 0 ne Gerade.)
Nun kann es passieren, dass du nen nur steigenden Verlauf zischen deinen drei punkten willst, die errechnet Parabel aber zwischen P1 und P2 ihren Scheitel hat. Dann hast du Pech, und du kannst das was du willst nicht mit ner Parabel erreichen.
Das Interpolationspolynom 2ten Grades ist sie dann trotzdem.
Nicht jedes "parablige" Gebilde , was du Freihand zeichnen kannst ist eine echte Parabel.
Das mit der Eindeutigkeit kommt dadurch zustande, dass man im allgemeinen ein Gleichungssystem mit n unbekannten eine eindeutige loesung hat. (ich weiss, da gibt es Ausnahmen
Wenn etwa 2 deiner punkt die gleiche x- Koordinate haben gibts keine loesung, wenn sie alle auf einer Geraden liegen mehrere Loesungen usw.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Di 03.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hi Leduart!
Hmm, ok, danke schonmal.
Dann jetzt nur nochmal zur dieser Eindeutigkeit:
Ist das eindeutig interpolierende Interpolationspolynom gleich die zu interpolierende Funktion f selbst?
Weil wie wir ja gesagt haben: Ein Polynom vom Grad [mm]\ n[/mm] ist durch [mm]\ n+1[/mm] Punkte eindeutig bestimmt.
Und wenn nun das Interpolationspolynom auch von Grad [mm]\ n[/mm] ist, und ich da auch [mm]\ n+1[/mm] Punkte von habe, dann müsste es doch genau f sein, oder?
Was bringt mir die Interpolation dann?
> Das mit der Eindeutigkeit kommt dadurch zustande, dass man
> im allgemeinen ein Gleichungssystem mit n unbekannten eine
> eindeutige loesung hat.
Habe ich nicht eher [mm]\ n+1[/mm] Unbekannte?
Also die Koeffizienten [mm] a_0,...,a_n [/mm] in der allgemeinen Koeffizientendarstellung eines Polynoms: [mm] p(t)=a_nt^n+...+a_1t+a_0.
[/mm]
Du meinst dieses LGS mit der Vandermondematrix, oder?
LG, Nadine
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> Dann jetzt nur nochmal zur dieser Eindeutigkeit:
> Ist das eindeutig interpolierende Interpolationspolynom
> gleich die zu interpolierende Funktion f selbst?
> Weil wie wir ja gesagt haben: Ein Polynom vom Grad [mm]\ n[/mm] ist
> durch [mm]\ n+1[/mm] Punkte eindeutig bestimmt.
> Und wenn nun das Interpolationspolynom auch von Grad [mm]\ n[/mm]
> ist, und ich da auch [mm]\ n+1[/mm] Punkte von habe, dann müsste es
> doch genau f sein, oder?
> Was bringt mir die Interpolation dann?
Hallo,
wenn Du ein Polynom f von grad n hast, von diesem n+1 verschiedene Punkte angibst, durch welche dann ein Polynom vom Grad n gelegt wird, bekommst Du genau Dein Polynom.
Hier bringt Dir die Interpolation nichts, und ich denke nicht, daß ein vernünftiger Mensch sowas machen würde, außer vielleicht mal zum Ausprobieren.
Aber es gibt ja viele Polynome höheren Grades oder viel aufregendere Funktionen, bei denen man den Wunsch verspüren könnte, sie durch ein Polynom anzunähern.
> > Das mit der Eindeutigkeit kommt dadurch zustande, dass man
> > im allgemeinen ein Gleichungssystem mit n unbekannten eine
> > eindeutige loesung hat.
>
> Habe ich nicht eher [mm]\ n+1[/mm] Unbekannte?
Bei einem Polynom vom grad n ja.
Ich denke, es kam leduart darauf an, daß das System stets soviele Gleichungen wie Unbekannte hat.
> Also die Koeffizienten [mm]a_0,...,a_n[/mm] in der allgemeinen
> Koeffizientendarstellung eines Polynoms:
> [mm]p(t)=a_nt^n+...+a_1t+a_0.[/mm]
> Du meinst dieses LGS mit der Vandermondematrix, oder?
Die n+1 Gleichungen, die durchs Einsetzen der n+1 Punkte entstehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 03.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Aber es gibt ja viele Polynome höheren Grades oder viel
> aufregendere Funktionen, bei denen man den Wunsch verspüren
> könnte, sie durch ein Polynom anzunähern.
Mmh, ok.
Könntest du mit vielleicht ein kleines Beispiel geben?
> Die n+1 Gleichungen, die durchs Einsetzen der n+1 Punkte
> entstehen.
Wenn ich über dieses Gleichungssystem arbeiten würde (was man ja nicht machen soll, weil viel zu aufwendig), dann würde ich das komplette Interpolationspolynom mit allen Koeffizienten [mm] a_0,...,a_n [/mm] erhalten, oder?
Wir haben in der Vorlesung Lagrange-Interpolation gemacht, wo man dieses Nevielle-Schema verwendet. Dabei erhalte ich immer nur einzelne Funktionswerte des Interpolationspolynoms, nie das komplette Interpolationspolynom , oder?
LG, Nadine
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> > Aber es gibt ja viele Polynome höheren Grades oder viel
> > aufregendere Funktionen, bei denen man den Wunsch verspüren
> > könnte, sie durch ein Polynom anzunähern.
>
> Mmh, ok.
> Könntest du mit vielleicht ein kleines Beispiel geben?
Hallo,
ein Beispiel kannst Du Dir doch selbst machen.
Nimm doch erstmal ein Polynom dritten grades, pick Dir 4 Punkte heraus, berechne das Interpolationspolynom vom grad 3. Die sollten identisch sein.
Dann kannst Du Dir irgendeine Dir bekannte Funktion nehmen, z.B. di Sinusfunktion.
Nimm doch mal den Punkt (0,0) und noch drei weitere und berechne das Interpolationspolynom. das kannst Du beliebig lange teiben.
> > Die n+1 Gleichungen, die durchs Einsetzen der n+1 Punkte
> > entstehen.
>
> Wenn ich über dieses Gleichungssystem arbeiten würde (was
> man ja nicht machen soll, weil viel zu aufwendig), dann
> würde ich das komplette Interpolationspolynom mit allen
> Koeffizienten [mm]a_0,...,a_n[/mm] erhalten, oder?
Wenn Du dasselbe meinst wie ich, würdest Du die Koeffizienten des Polynoms [mm] \summe a_ix^i [/mm] erhalten.
>
> Wir haben in der Vorlesung Lagrange-Interpolation gemacht,
> wo man dieses Nevielle-Schema verwendet. Dabei erhalte ich
> immer nur einzelne Funktionswerte des
> Interpolationspolynoms, nie das komplette
> Interpolationspolynom , oder?
Numerik ist nie meine große Liebe, ich lasse das deshalb erstmal halbbeantwortet.
Bei der Lagrangeinterpolation baut man sich ja abhängig von den Stützstellen verschiedene Polynome des gewünschten Grades und addiert diese Polynome.
ist dieses Schema nicht für Newton-Interpolation? Ich müßte echt erst nachlesen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Hallo,
> ein Beispiel kannst Du Dir doch selbst machen.
> Nimm doch erstmal ein Polynom dritten grades, pick Dir 4
> Punkte heraus, berechne das Interpolationspolynom vom grad
> 3. Die sollten identisch sein.
Ja, das hab ich gemacht und es klappt auch
Als Funktion hab ich [mm] f(x)=x^3-x^2+2x-3 [/mm] und als Stützstellen hab ich [mm] x_0=0, x_1=1, x_2=2 [/mm] und [mm] x_3=-1 [/mm] genommen (mit dazu gehörigen Stützwerten).
Dann hab ich das Gleichungssystem mit der Vandermonde-Matrxi aufgestellt und mit Gauß gelöst:
[mm] \vektor{p(x_0) \\ p(x_1) \\ p(x_2) \\ p(x_3)}=\pmat{ 1 & x_0 & x_0^2 & x_0^3 \\ 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_3^3 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3}*\vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3}=\vektor{f(x_0) \\ f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3)}
[/mm]
Dann erhalte [mm] a_0=-3, a_1=2, a_2=-1 [/mm] und [mm] a_3=1.
[/mm]
Wenn ich das jetzt in die allgemeine Form [mm] p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a-^x+a_0 [/mm] einsetze, erhalte ich genau mein Ausgangspolynom.
Ist mein Vorgehen so korrekt?
> Dann kannst Du Dir irgendeine Dir bekannte Funktion nehmen,
> z.B. di Sinusfunktion.
> Nimm doch mal den Punkt (0,0) und noch drei weitere und
> berechne das Interpolationspolynom.
Ja, das habe ich auch gemacht.
Habe als Stützstellen [mm] x_0=0, x_1=1, x_2=2 [/mm] und [mm] x_3=3.
[/mm]
Hab mit dem gleichen Verfahren wie oben gearbeitet und erhalte dann als Interpolationspolynom [mm] p(x)=-0,01x^3-0,35x^2+1,15x+0.
[/mm]
Wenn ich das plotte, dann sind der Sinus und das Interpolationspolynom im ersten Bogen von Sinus sehr ähnlich .
> > Wenn ich über dieses Gleichungssystem arbeiten würde (was
> > man ja nicht machen soll, weil viel zu aufwendig), dann
> > würde ich das komplette Interpolationspolynom mit allen
> > Koeffizienten [mm]a_0,...,a_n[/mm] erhalten, oder?
>
> Wenn Du dasselbe meinst wie ich, würdest Du die
> Koeffizienten des Polynoms [mm]\summe a_ix^i[/mm] erhalten.
Ja, ich glaube, das meinte ich.
Also ich meine dieses Verfahren, was ich da oben angewendet habe.
Wenn ich alle [mm] a_i [/mm] bestimmt habe, dann habe ich ja das Polynom auch eindeutig bestimmt, wie oben eben, richtig?
> > Wir haben in der Vorlesung Lagrange-Interpolation gemacht,
> > wo man dieses Nevielle-Schema verwendet. Dabei erhalte ich
> > immer nur einzelne Funktionswerte des
> > Interpolationspolynoms, nie das komplette
> > Interpolationspolynom , oder?
>
> Bei der Lagrangeinterpolation baut man sich ja abhängig von
> den Stützstellen verschiedene Polynome des gewünschten
> Grades und addiert diese Polynome.
>
> ist dieses Schema nicht für Newton-Interpolation? Ich müßte
> echt erst nachlesen...
Ja, das Schema wird auch bei der Newton-Interpolation verwendet (wenn du Hermite-Interpolation mit der Newton-Basis meinst?).
Lagrange-Interpolation ist bei uns ein Verfahren, wo man auch nur mit einfachen Stützstellen (also ohne Ableitungen) arbeitet, wie bei dem Verfahren da oben mit dem LGS.
Da hat man so Lagrange-Polynome, die bilden auch eine Basis des Polynomraums, aus dem das Interpolationspolynom stammt.
Und dann haben wir so eine Formel (sie heißt Konvexkombination), in der das Interpolationspolynom an der Stelle t über Interpolationspolynome niedrigeren Grades berechnet. Und dazu verwendet man eben auch dieses Nevielle-Schema.
Kann es sein, dass dieses Verfahren eher dafür benutzt wird, wenn ich gar keine komplette Funktion gegeben habe, die ich interpolieren soll? Sondern eher dann, wenn ich vielleicht nur einzelne Daten (z.B. Messdaten) habe?
Und nun suche ich einen Funktionswert zu einem Datum, welches ich nicht gemessen habe, und nun muss ich eben aus den gegebenen Daten eine Funktion basteln (interpolieren), aber eben erhalte ich als Ergebnis nicht die gebastelte Funktion, sondern nur den Wert den ich suche?
[Ich hoffe, dass war einigermaßen verständlich ]
Weil hier im Buch habe ich wieder ein Beispiel, was mir irgendwie irrsinnig erscheint.
Da soll der Wert von [mm]\ sin(t)[/mm] an der Stelle [mm]\ t=62°[/mm] berechnet werden (also [mm]\ sin(62°)[/mm]) und dazu sind einige Stellen vorgegeben.
Aber wieso sollte ich hier interpolieren?
Bis ich nach etwa 8 Schitten den Wert ermittelt habe, kann ich das Ganze doch einfach direkt ausrechnen, oder nicht ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 04.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch eben gezeigt, dass man den sin schon ein kleines stueck weit ganz git mit ner parabel darstellen kann. Warum soll man dann nicht [mm] sin62^o [/mm] mit Hilfe eine interpolationspol. ausrechen. Du sollst das ja auch erstmal lernen, und dich davon ueberzeugen wie gut - oder schlecht- das klappt.
sin von [mm] 0,\pi/6,\pi/4,\pi/3 [/mm] kann man doch noch mit Pythagoras ausrechnen. entsprechend cos und damit auch noch ein paar andere werte.
Wen du keinen TR oder computer haettest, wie wolltest du dann sin62 ausrechnen.
wenn du den kannst dann natuerlich auch noch ein paar andere Werte. Das ist doch einfach ein Beispiel.
Manche fkt kennt man eben nur an ein paar Stellen exakt und muss fuer die anderen ne naeherung nehmen.
Oder man hat ne Sammlung von Messwerten und sucht ne passende Fkt um dann Werte dazwischen richtig zuberechnen usw. usw.
Die verschiedenen verfahren die Approx. auszurechnen sind fuer verschiedene Probleme verschieden guenstig. Aber das zu erklaeren ist ja ne Vorlesg ueber numerische mathe oder ein entspr. Buch da, nicht wir.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hi Leduart!
Danke für deine Antwort.
Ich denke (hoffe), dass es mir jetzt etwas klarer ist.
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
normalerweise würde man doch kein Polynom durch ein Polynom interpolieren.
Das tut man eher mit Funktionen, die mühsam zu berechnen sind, und die sich z.B. einer Taylorreihenentwicklung fast entziehen, weil die nötigen Ableitungen schnell mühsam werden.
Nimm mal diese Funktion: [mm] f(x)=xe^{\sin{(e^{x^2}+\ln{(x^4+25)})}}-\bruch{3}{2}x
[/mm]
Zugegeben, konstruiert. Aber wenn Du mit ihr arbeiten müsstest, hättest Du eher Mühe als Spaß. Hier ein Ausschnitt des zugehörigen Graphen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun könnte es ja sein, dass für irgendeine praktische Anwendung nur der Bereich [mm] x\in[-\bruch{3}{2},+\bruch{3}{2}] [/mm] interessant ist. Hier bietet sich ohne Zweifel eine Interpolation durch ein Polynom siebten Grades an, obwohl vor allem die lange ziemlich gerade Strecke durch den Nullpunkt schwer darzustellen sein wird. Vielleicht sollte man da noch mehr Punkte festlegen und einen höheren Grad anstreben. Alles aber wird leichter zu bearbeiten sein als die ursprüngliche Funktion.
Und das ist auch schon ungefähr alles, was ich zum Thema beitragen kann...
Sonst gehts mir wie Angela: ich liebe die Numerik nicht und müsste mich wieder einlesen.
Darum weiter: teilweise beantwortet.
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, deshalb wird es in der Praxis auch kaum angewandt, eher fuer Beweise.
In der praxis loest du das GS oder verwendest ne andere Methode, guck mal in wiki unter Polynoninterpolation.
Gruss leduart
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