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Forum "Uni-Analysis" - Intergral ü.e. stetige Kurve
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Intergral ü.e. stetige Kurve: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Fr 27.10.2006
Autor: Imkeje

Aufgabe
Zeigen sie, dass für das Integral über eine stetige Kurve [mm] v:[a,b]\to\IR^{2} [/mm] gilt:
[mm] \parallel\(\integral_{a}^{b}{v(t) dt})\parallel \le \integral_{a}^{b}{\parallel(v(t)) \parallel dt} [/mm]


Kann mir bei dieser Aufgabe vielleicht jemand einen Tipp oder Hinweis geben, finde einfach keienn vernünftigen Ansatz!
Imke

        
Bezug
Intergral ü.e. stetige Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Fr 27.10.2006
Autor: ullim

Hi Imkeje,


schreib das Integral doch als Summe und bilde den Grenzwert für [mm] \Delta{t} [/mm] gegen 0 und benutzte dabei die Dreiecksungleichung für Summen, also [mm] |a+b|\le|a|+|b|. [/mm] Dann kann man das geforderte folgern.

mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Intergral ü.e. stetige Kurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:04 Sa 28.10.2006
Autor: Imkeje

Also ich habs jetzt mal versucht, aber mir kommt das irgendwie viel zu einfach vor!
Also

[mm] \parallel \integral_{a}^{b}{v(t) dt} \parallel [/mm] =

[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} [/mm] v(ti) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] =

[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] (v(t1) [mm] \Delta [/mm] t +...+ v(tn) [mm] \Delta [/mm] t ) [mm] \parallel [/mm]  =

[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t +...+ [mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t  [mm] \parallel [/mm]

[mm] \le [/mm] ( Dreiecksungleichung)

[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm]  +...+ [mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t  [mm] \parallel [/mm] =

[mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty}( \parallel [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm]  +...+ [mm] \parallel [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t  [mm] \parallel [/mm] ) =

[mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty}( \parallel [/mm] v(t1) [mm] \parallel \Delta [/mm] t +...+ [mm] \parallel [/mm] v(tn) [mm] \parallel \Delta [/mm] t ) =


[mm] \integral_{a}^{b}{ \parallel v(t) dt \parallel } [/mm]

Ist das so richtig? Bin mir da sehr unsicher?

Wenn man dies nun bewiesen hat, soll man weiter folgern, dass für eine stetig differenzierbare Kurve c: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] ^ {n} gilt

L(c) [mm] \ge \parallel [/mm] c(b) - c(a) [mm] \parallel [/mm]

Hab mir da folgendes gedacht:

c ist stetig differenzierbar, setzte also dc/dt := v(t) , diese ist stetig und für eine stetige Kurve hat man die Behauptung doch gerade ebenbewiesen, richtig?

Zudem soll das Ergebnis geometrisch gedeutet werden!

Das  muß irgendwas mit des Chauchy-Schwarz- Ungleichung zutuen haben:

v,w [mm] \in \IR [/mm] ^ {n} :
Skalarptodukt von (v,w) [mm] \le \parallel [/mm] v [mm] \parallel \parallel [/mm] w [mm] \parallel [/mm]

Wenn dabei Gleichheit vor liegt sind v und w parallel

Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen!
Mfg Imke

Bezug
                        
Bezug
Intergral ü.e. stetige Kurve: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:49 Sa 28.10.2006
Autor: Imkeje

Also ich habs jetzt mal versucht, aber mir kommt das irgendwie viel zu einfach vor!
Also

[mm] \parallel \integral_{a}^{b}{v(t) dt} \parallel [/mm] =

[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} [/mm] v(ti) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] =

[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] (v(t1) [mm] \Delta [/mm] t +...+ v(tn) [mm] \Delta [/mm] t ) [mm] \parallel [/mm]  =

[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t +...+ [mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t  [mm] \parallel [/mm]

[mm] \le [/mm] ( Dreiecksungleichung)

[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm]  +...+ [mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t  [mm] \parallel [/mm] =

[mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty}( \parallel [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm]  +...+ [mm] \parallel [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t  [mm] \parallel [/mm] ) =

[mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty}( \parallel [/mm] v(t1) [mm] \parallel \Delta [/mm] t +...+ [mm] \parallel [/mm] v(tn) [mm] \parallel \Delta [/mm] t ) =


[mm] \integral_{a}^{b}{ \parallel v(t) dt \parallel } [/mm]

Ist das so richtig? Bin mir da sehr unsicher?

Wenn man dies nun bewiesen hat, soll man weiter folgern, dass für eine stetig differenzierbare Kurve c: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] ^ {n} gilt

L(c) [mm] \ge \parallel [/mm] c(b) - c(a) [mm] \parallel [/mm]

Hab mir da folgendes gedacht:

c ist stetig differenzierbar, setzte also dc/dt := v(t) , diese ist stetig und für eine stetige Kurve hat man die Behauptung doch gerade ebenbewiesen, richtig?

Zudem soll das Ergebnis geometrisch gedeutet werden!

Das  muß irgendwas mit des Chauchy-Schwarz- Ungleichung zutuen haben:

v,w [mm] \in \IR [/mm] ^ {n} :
Skalarptodukt von (v,w) [mm] \le \parallel [/mm] v [mm] \parallel \parallel [/mm] w [mm] \parallel [/mm]

Wenn dabei Gleichheit vor liegt sind v und w parallel

Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen!
Mfg Imke


Bezug
                                
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Intergral ü.e. stetige Kurve: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 30.10.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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