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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Beweise mit vollständiger Induktion:
Sei R ein Integritätsring. Ein Polynom in R[x] vom Grad n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] hat höchstens n verschiedene Nullstellen in R. |
Hallo,
hier habe ich noch eine Frage zum Induktionsschluss. Also zuerst
[mm] \begin{itemize}
\item{\bf IA:} n=0 klar.
\item{ \bf IV:} Beh. gelte für ein Polynom vom Grad n-1.
\item{\bf IS:} n-1 \rightarrow n \\
\mbox{ Sei also } p \in R[x] \mbox{ mit } deg(p) = n.
1.Fall: p hat keine Nullstellen, dann sind wir fertig.
2.Fall: p hat eine Nullstelle \lambda, d.h. p(\lambda) = 0,
\end{itemize}
[/mm]
dann können wir mit Polynomdivision schreiben:
p(x) = q(x) (x - [mm] \lambda) [/mm] + r(x)
So, jetzt weiß ich ein paar Sachen, aber nicht ob und wenn ja wie, sie mir zum Ziel helfen...
Also zum einen hat ja ein Integritätsring die Eigenschaft, dass er keine Nullteiler hat. Und zum andren hab ich diesen Satz:
"Ist R ein Integritätsring und sind f(x), g(x) [mm] \in R[x]-\{0\} [/mm] und ist g(x) unitär, so gibt es eindeutige q(x), r(x) [mm] \in [/mm] R[x] mit deg r(x) < deg g(x) und f(x) = q(x) [mm] \cdot [/mm] g(x) + r(x)."
Außerdem hat q(x) nach Polynomdivision ja dann den Grad n-1, d.h. hier könnte ich irgendwie die Ind.behauptung anwenden, d.h. q(x) hat höchstens n-1 Nullstellen.
Dann brauch ich wohl für q(x)(x - [mm] \lambda) [/mm] das mit der Nullteilerfreiheit? Und was ist mit r(x) ?
Wäre super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet, das alles ein bisschen zu sortieren und richtig anzuwenden.... *help*
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Fr 24.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo Riley
> Beweise mit vollständiger Induktion:
> Sei R ein Integritätsring. Ein Polynom in R[x] vom Grad n
> [mm]\in \mathbb{N}[/mm] hat höchstens n verschiedene Nullstellen in
> R.
> Hallo,
> hier habe ich noch eine Frage zum Induktionsschluss. Also
> zuerst
>
> [mm]\begin{itemize}
\item{\bf IA:} n=0 klar.
\item{ \bf IV:} Beh. gelte für ein Polynom vom Grad n-1.
\item{\bf IS:} n-1 \rightarrow n \\
\mbox{ Sei also } p \in R[x] \mbox{ mit } deg(p) = n.
1.Fall: p hat keine Nullstellen, dann sind wir fertig.
2.Fall: p hat eine Nullstelle \lambda, d.h. p(\lambda) = 0,
\end{itemize}[/mm]
>
> dann können wir mit Polynomdivision schreiben:
> p(x) = q(x) (x - [mm]\lambda)[/mm] + r(x)
>
>
> So, jetzt weiß ich ein paar Sachen, aber nicht ob und wenn
> ja wie, sie mir zum Ziel helfen...
> Also zum einen hat ja ein Integritätsring die Eigenschaft,
> dass er keine Nullteiler hat. Und zum andren hab ich diesen
> Satz:
> "Ist R ein Integritätsring und sind f(x), g(x) [mm]\in R[x]-\{0\}[/mm]
> und ist g(x) unitär, so gibt es eindeutige q(x), r(x) [mm]\in[/mm]
> R[x] mit deg r(x) < deg g(x) und f(x) = q(x) [mm]\cdot[/mm] g(x) +
> r(x)."
das ist die entscheidende feststellung: hier ist $g(x) = (x - [mm] \lambda)$, [/mm] also [mm] $\textrm{deg} \, [/mm] g = 1$ und folglich muss [mm] $\textrm{deg}\,r [/mm] < [mm] \textrm{deg} \, [/mm] g = 1$ sein, also $r$ entweder konstant (grad $0$) oder schon das nullpolynom. setze nun in die gleichung $p(x) = q(x) (x - [mm] \lambda) [/mm] + r(x)$ für $x = [mm] \lambda$ [/mm] ein. kann dann $r(x)$ eine von null verschiedene konstante sein?
> Außerdem hat q(x) nach Polynomdivision ja dann den Grad
> n-1, d.h. hier könnte ich irgendwie die Ind.behauptung
> anwenden, d.h. q(x) hat höchstens n-1 Nullstellen.
das kannst du anwenden, nachdem du dir obige gleichung angeschaut hast, genau.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Andreas,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Ok, wegen deg r(x) < deg g(x) = 1 ist r(x) eine Konstante oder das Nullpolynom. Wenn ich nun in die Gleichung p(x) = q(x) (x- [mm] \lambda) [/mm] + r(x) für [mm] x=\lambda [/mm] einsetze, erhalte ich (wegen [mm] \lambda [/mm] ist Nullstelle)
0 = [mm] p(\lambda) [/mm] = [mm] r(\lambda), [/mm] also kann r(x) keine Konstante sein, sondern muss das Nullpolynom sein, versteh ich das so richtig?
D.h. es bleibt nur noch übrig
p(x) = q(x) [mm] (x-\lambda). [/mm] Da q(x) höchstens n-1 Nullstellen hat (nach IV) und mit [mm] (x-\lambda) [/mm] noch eine dazukommt, hat also p höchstens n Nullstellen?
Aber mir ist noch nicht klar, wo geht denn hier die Eigenschaft eines Integritätrings genau ein?
Achso, ist es quasi hier:
p(x) = q(x) (x- [mm] \lamda) [/mm] = 0 ?
Viele Grüße & vielen Dank
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Fr 24.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ok, wegen deg r(x) < deg g(x) = 1 ist r(x) eine Konstante
> oder das Nullpolynom. Wenn ich nun in die Gleichung p(x) =
> q(x) (x- [mm]\lambda)[/mm] + r(x) für [mm]x=\lambda[/mm] einsetze, erhalte
> ich (wegen [mm]\lambda[/mm] ist Nullstelle)
>
> 0 = [mm]p(\lambda)[/mm] = [mm]r(\lambda),[/mm] also kann r(x) keine Konstante
> sein, sondern muss das Nullpolynom sein, versteh ich das so
> richtig?
ja.
> D.h. es bleibt nur noch übrig
>
> p(x) = q(x) [mm](x-\lambda).[/mm] Da q(x) höchstens n-1 Nullstellen
> hat (nach IV) und mit [mm](x-\lambda)[/mm] noch eine dazukommt, hat
> also p höchstens n Nullstellen?
genau. und hier (und bei der polynomdivision) geht tatsächlich (ziemlich direkt) die voraussetzung integritätsring ein. mit $R$ ist auch $R[x]$ integritätsring und damit folgt $ab = 0 [mm] \Longrightarrow [/mm] a = [mm] 0\vee [/mm] b = 0$. betrachte zum beispiel in [mm] $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]$ [/mm] das polynom $(x + 1)(x + 1)$. wenn du nun $x = 1$ setzt, ist keiner der faktoren null, das produkt jedoch schon, dort könntest du also so nicht schließen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Andreas,
vielen Dank für deine Hilfe. Eine Rückfrage hab ich noch.
> genau. und hier (und bei der polynomdivision) geht
> tatsächlich (ziemlich direkt) die voraussetzung
> integritätsring ein. mit [mm]R[/mm] ist auch [mm]R[x][/mm] integritätsring
> und damit folgt [mm]ab = 0 \Longrightarrow a = 0\vee b = 0[/mm].
> betrachte zum beispiel in [mm](\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x][/mm] das
> polynom [mm](x + 1)(x + 1)[/mm]. wenn du nun [mm]x = 1[/mm] setzt, ist keiner
> der faktoren null, das produkt jedoch schon, dort könntest
> du also so nicht schließen.
Warum ist 1+1 in [mm] (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) [/mm] gleich Null? Ist es nicht [mm] (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) [/mm] oder hab ich das ganz falsch verstanden?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Fr 24.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> Warum ist 1+1 in [mm](\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[/mm] gleich Null?
es ist natürlich $1 + 1 [mm] \not= [/mm] 0$ in [mm] $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, [/mm] aber das habe ich auch nie behauptet. du sollst doch in $(x + 1)(x + 1)$ für $x = 1$ einsetzen. was steht dann da? und für was ist das dann ein beispiel?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Andreas,
ops, sorry. Ja das Produkt, also 4, ist dann natürlich Null in [mm] (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}). [/mm] Also (x+1)(x+1)= 0 ohne dass einer der Faktoren = 0 ist.
Das ist ein Bsp dafür, dass wir oben die Vss des Integritätrings brauchen um aus q(x) [mm] (\lambda [/mm] - x) = 0 schließen zu können, dass q(x) = 0 oder [mm] (x-\lambda) [/mm] = 0 ist, und wir Nullstellen haben.
Stimmt das nun so?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Fr 24.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> ops, sorry. Ja das Produkt, also 4, ist dann natürlich
> Null in [mm](\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}).[/mm] Also (x+1)(x+1)= 0 ohne
> dass einer der Faktoren = 0 ist.
>
> Das ist ein Bsp dafür, dass wir oben die Vss des
> Integritätrings brauchen um aus q(x) [mm](\lambda[/mm] - x) = 0
> schließen zu können, dass q(x) = 0 oder [mm](x-\lambda)[/mm] = 0
> ist, und wir Nullstellen haben.
genau. das stimmt alles, nur der letzte halbsatz ist etwas unglücklich.
damit kann man dann schließen, dass $p(x) = q(x)(x - [mm] \lambda)$ [/mm] höchstens soviele nullstellen hat, wie $q(x)$und $x - [mm] \lambda$ [/mm] zusammen, also höchstens $(n - 1) + 1 = n$.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Andreas,
okay super, dann hab ich das verstanden.
Dankeschön für die geduldigen Erklärungen!
Viele Grüße,
Riley
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