Integrieren über einen Bruch < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechne: [mm] \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{z^{2}-1} dz} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe nicht ganz ans Ziel, weil ich nicht weiß, wie ich den [mm] cos(\pi*z) [/mm] umschreiben könnte.
Zuerst habe ich mal den Nenner mit der Partialbruchzerlegung zerlegt, und erhalte [mm] \bruch{1}{z^{2}-1}= \bruch{1}{2(z-1)}-\bruch{1}{2(z+1)}
[/mm]
Also kann ich schreiben:
[mm] \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{z^{2}-1} dz}= \integral_{|z-0|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{2(z-1)} dz} [/mm] - [mm] \integral_{|z-0|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{2(z+1)} dz} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}* \integral_{|z-0|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{(z-1)} dz} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}* \integral_{|z-0|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{(z+1)} dz} [/mm] =
Wie kann ich jetzt den Cosinus umschreiben, sodass ich den Wert der Teilintegrale bestimmen kann? (Wenn oben im Zähler eine 1 stünde, dann wäre es ja einfach: Der Wert wäre dann gleich [mm] 2\pi*i, [/mm] wenn die 1 sich in der Kreisscheibe befindet, was ja hier der Fall wäre bei Mittelpunkt 0 und Radius 2).
Vielen Dank für eure Hilfe!
Milka
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Fr 04.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Berechne: [mm]\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{z^{2}-1} dz}[/mm]
>
> Hallo,
> ich komme bei der Aufgabe nicht ganz ans Ziel, weil ich
> nicht weiß, wie ich den [mm]cos(\pi*z)[/mm] umschreiben könnte.
> Zuerst habe ich mal den Nenner mit der
> Partialbruchzerlegung zerlegt, und erhalte
> [mm]\bruch{1}{z^{2}-1}= \bruch{1}{2(z-1)}-\bruch{1}{2(z+1)}[/mm]
>
> Also kann ich schreiben:
> [mm]\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{z^{2}-1} dz}= \integral_{|z-0|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{2(z-1)} dz}[/mm]
> - [mm]\integral_{|z-0|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{2(z+1)} dz}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}* \integral_{|z-0|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{(z-1)} dz}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{2}* \integral_{|z-0|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{(z+1)} dz}[/mm]
> =
>
> Wie kann ich jetzt den Cosinus umschreiben, sodass ich den
> Wert der Teilintegrale bestimmen kann? (Wenn oben im Zähler
> eine 1 stünde, dann wäre es ja einfach: Der Wert wäre dann
> gleich [mm]2\pi*i,[/mm] wenn die 1 sich in der Kreisscheibe
> befindet, was ja hier der Fall wäre bei Mittelpunkt 0 und
> Radius 2).
Das ganze sollte doch viel einfacher gehen, wenn du den Residuensatz benutzt: Du musst nur die Residuen von [mm] $\frac{\cos(\pi z)}{z^2 - 1}$ [/mm] in $z = 1$ und $z = -1$ berechnen. Dazu kannst du auch wieder die Partialbruchzerlegung nutzen (die du schon berechnet hast), da jeweils nur einer der Summanden einen Pol hat und du somit nur einen Summanden entwickeln musst in dem Punkt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo felixf,
danke für deinen Tipp, aber leider darf zur Lösung dieser Aufgabe der Residuensatz noch nicht verwendet werden. Diese Möglichkeit ging mir auch schon durch den Kopf, aber wie gesagt, es müsste auch ohne den Res.satz funktionieren, oder?
Könntest du mir da weiterhelfen?
Vielen Dank!
Milka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Fr 04.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] cos(\pi*z)=\bruch{e^{i\pi*z}+e^{-i\pi*z}}{2} [/mm]
Vielleicht bringt dich das weiter????
|
|
|
| |
|
Hallo wauwau,
ich habe mal die Formel ins Integral eingebaut, komme aber trotzdem nicht richtig weiter:
Ich habe gerechnet:
[mm] \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{cos(\pi\cdot{}z)}{z^{2}-1} dz}= \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{e^{i*\pi*z}+e^{-i*\pi*z}}{2(z-1)(z+1)} dz}= [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}* \integral_{|z|=2}^{}{(e^{i*\pi*z}+e^{-i*\pi*z})* [\bruch{1}{2(z-1)}-\bruch{1}{2(z+1)}] dz}= \bruch{1}{4}* [\integral_{|z|=2}^{}{(e^{i*\pi*z}+e^{-i*\pi*z})* \bruch{1}{z-1} dz}- \integral_{|z|=2}^{}{(e^{i*\pi*z}+e^{-i*\pi*z})* \bruch{1}{z+1} dz}]
[/mm]
Eine partielle Integration stell ich mir hier für den Fall äußerst schwer vor. Und muss ich [mm] e^{i*\pi*z} [/mm] wieder umschreiben in [mm] cos(\pi*z)+i*sin(\pi*z)? [/mm]
Dann erhalte ich nämlich weiter, nach dem sich die Imaginärteile alle rauskürzen:
[mm] \bruch{1}{2}*[\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{z-1} dz}-\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{cos(\pi*z)}{z+1} dx}]
[/mm]
Aber dann habe ich ja wieder das Problem wie am ganz am Anfang mit dem cos im Zähler.
Oder habe ich in den Rechenschritten was falsch gemacht?
Danke!
Milka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Fr 04.05.2007 | | Autor: | wauwau |
ich würde mal die Integrale
[mm] \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{e^{\pm i\pi*z}}{1\pm z} dx} [/mm] näher betrachten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:31 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo,
> ich würde mal die Integrale
>
> [mm]\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{e^{\pm i\pi*z}}{1\pm z} dz}[/mm]
> näher betrachten
Man integiert doch über einen Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius 2, d.h. es werden alle Punkte z betrachten, die auf dem Kreisrand sind und Abstand 2 zum Ursprung haben.
Ich weiß, dass [mm] e^{i*\pi*2} [/mm] = 1 ist. Bin ich da auf der richtigen Spur?  Es wäre nett, wenn du mir konkretere Tipps geben könntest, weil ich nicht genau weiß, was ich da näher betrachten soll.
Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Fr 04.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna,
> > ich würde mal die Integrale
> >
> > [mm]\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{e^{\pm i\pi*z}}{1\pm z} dz}[/mm]
> > näher betrachten
>
> Man integiert doch über einen Kreis um den Nullpunkt mit
> dem Radius 2, d.h. es werden alle Punkte z betrachten, die
> auf dem Kreisrand sind und Abstand 2 zum Ursprung haben.
> Ich weiß, dass [mm]e^{i*\pi*2}[/mm] = 1 ist. Bin ich da auf der
> richtigen Spur? Es wäre nett, wenn du mir konkretere
> Tipps geben könntest, weil ich nicht genau weiß, was ich da
> näher betrachten soll.
hattet ihr den Cauchyschen Integralsatz schon? Also dass [mm] $\int_\gamma [/mm] f [mm] \; [/mm] dz = 0$ ist fuer jede holomorphe Funktion $f : G [mm] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $\gamma \subseteq [/mm] G$?
Dann kannst du so vorgehen: berechne die Laurententwicklung von $g(z) := [mm] \frac{e^{\pm i \pi z}}{1 \pm z}$ [/mm] in $z = [mm] \pm [/mm] 1$ (also bei der Polstelle). Dann schreibe $g(z) = [mm] g_1(z) [/mm] + [mm] g_2(z)$, [/mm] wobei [mm] $g_1(z) [/mm] = [mm] \frac{\lambda}{1 \pm z}$ [/mm] ist (der Hauptteil von $g$) und [mm] $g_2(z) [/mm] = g(z) - [mm] g_1(z)$ [/mm] holomorph ist. Dann ist [mm] $\int_{|z|=2} g_2(z) \; [/mm] dz = 0$, und somit [mm] $\int_{|z|=2} [/mm] g(z) [mm] \; [/mm] dz = [mm] \int_{|z|=2} g_1(z) \; [/mm] dz$.
Wenn du nun das Integral [mm] $\int_{|z|=2} g_2(z) \; [/mm] dz = [mm] \int_{|z|=2} \frac{\lambda}{1 \pm z} \; [/mm] dz = [mm] \int_0^{2 \pi} \frac{\lambda 2 i e^{i t}}{1 \pm 2 e^{i t}} \; [/mm] dt = [mm] \lambda [/mm] i [mm] \int_0^{2 \pi} \frac{1}{\tfrac{1}{2} e^{-i t} \pm 1} \; [/mm] dt$ umschreibst, kannst du [mm] $\frac{1}{\tfrac{1}{2} e^{-i t} \pm 1}$ [/mm] durch [mm] $\sum_{k=0}^\infty (\mp \tfrac{1}{2})^k$ [/mm] (modulo Vorzeichen) ersetzen, dann Summe mit Integral vertauschen und dann hast du etwas was du integrieren kannst.
Allerdings ist das wahrscheinlich nicht gerade der direkteste Weg... :-/
LG Felix
|
|
|
|
