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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Outside |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle!
Ich habe volgende Aufgabe bei der ich irgendwie nicht weiter komme.
[mm] \integral {\bruch{\wurzel{4-x^{2}}}{x^2} dx}
[/mm]
Sie soll durch eine geeignete Substitution gelöst werden. Also:
Sub: x=2 sin(u) dx=cos(u) du [mm] \wurzel{4-2sin^2(u)}=2cos(u)
[/mm]
Jetzt muss ich doch für alle x in meiner gleichung 2sin(u) einsetzen und die Gleichung mal cos(u)du nehmen, richtig?
[mm] \integral {\bruch{\wurzel{4-2sin^{2}(u)}*cos(u)}{4sin^2(u)} du}=\integral{\bruch{cos^2(u)}{2*sin^2(u)}}
[/mm]
Und was nun? Muss ich für [mm] cos^2(u) [/mm] dann 1-cos(2u) schreiben? Was bring mir das, oder muss man das anders machen als wie ich es verstanden habe?
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Hallo Christian
erst einmal hast du da einen kleinen Rechenfehler in deiner Aufgabe, denn x²= 4 sin²(u), wenn du das einsetzt bekommst du als Lösung
[mm] \integral [/mm] 2 cos(u)*cos(u)/2sin²(u) du, die 2 kürzt sich also bleibt dir
[mm] \integral [/mm] cos²(u)/sin²(u) also [mm] \integral [/mm] cot²(u)du, für den Cotangens gilt die Formel: [mm] \integral [/mm] cot (x)dx = log(sin(x)) + C.
Ich hoffe, daß dir das hilft
Britta
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Ich denke, Outside sollte alle konstanten Faktoren noch einmal überprüfen. So gilt z.B. auch [mm]\mathrm{d}x = 2 \cos{u} \, \mathrm{d}u[/mm]. Und zur Lösung von
[mm]\int_{}^{}~\cot^2{u}~\mathrm{d}u[/mm]
sollte man
[mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} \, \cot{u} = -1 - \cot^2{u}[/mm]
beachten, nach [mm]\cot^2{u}[/mm] auflösen und oben einsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
du hast recht, habe die Faktoren einfach mal als richtig angenommen und nicht weiterbeachtet.
Danke
Britta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Outside |
Erstmal vielen dank für die hilfe. Hat mir schon sehr geholfen.
Ich komm irgendwie immernoch nicht zum richtigen Ergebniss.
So siehts bei mir momentan aus:
[mm] \integral{cot^2u}du=\integral{-cot(u)-1} du=-ln(sin(u))-u+C=-ln(sin(u))-arcsin(\bruch{x}{2})+C
[/mm]
Dabei hab ich x=2*sin(u) umgestellt nach u ( u=arcsin(x/2)!
Im ersten term bekomm ich dann ja [mm] -ln(\bruch{x}{2}) [/mm] ...das stimmt aber nicht. Ich muss dort auf [mm] -\bruch{\wurzel{4-x^2}}{x} [/mm] kommen sagt mir die Lösung.
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Hi,
wende doch einfach mal die formel an und bedenke das cot² eine Verkettung ist, also die Regeln beachten und dann kommst du auf dein Ergebnis.
außerdem mußt du noch bedenken, daß dir ja ein kleiner fehler bei der Umformung nach du passiert ist, du hast also [mm] \integral [/mm] 2cot"(u) du, aber die 2 kannst du ja einfach vor das Intergral schreiben
Viel Erfolg
Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mi 10.08.2005 | | Autor: | matrinx |
Hallo!
Schau Dir nochmal genau die Formel von Leopold an
[mm]\bruch{d}{du}cot(u) = -1 - cot^{2}(u)[/mm]
da steht ein [mm]\bruch{d}{du}cot(u)[/mm] und nicht nur [mm]cot(u)[/mm].
Überleg Dir dann mal was
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{d}{du}cot(u) du} [/mm] bedeutet und dann müsste die Aufgabe eigentlich erschlagen sein.
Grüsse
Martin
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