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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Forenmitglieder
2 * [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}} [/mm] ln (cos(x) * tan (x) dx
Momentan finde ich bei dieser UAfgabe den EInstieg nicht. Danke, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Forenmitglieder
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> 2 * [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}[/mm] ln (cos(x) * tan (x)
> dx
>
> Momentan finde ich bei dieser UAfgabe den EInstieg nicht.
> Danke, Gruss Kuriger
Substituiere $t=cos(x)$
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Fred
t = cos(x)
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = - sin(x)
Aber irgendwie weiss ich dann mit dem nichts anzufangen.
Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
>
>
> t = cos(x)
> [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] = - sin(x)
>
> Aber irgendwie weiss ich dann mit dem nichts anzufangen.
> Gruss Kuriger
Es ist dann $dt= -sin(x)dx$, also $tan(x)dx= [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)}dx= -\bruch{dt}{t}$
[/mm]
Kommst Du jetzt weiter ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Fred
Irgendwie kann ich deinen Schritt nicht nachvollziehen, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Do 29.07.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Fred
Hallo
>
> Irgendwie kann ich deinen Schritt nicht nachvollziehen,
Kannst dus noch ungenauer formulieren? Du machst es uns Helfern echt nicht gerade leicht.
> Gruss Kuriger
Also:
[mm] \tan(x)\stackrel{\text{Trigonometie}}{=}\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}\stackrel{t:=\cos(x)}{=}\bruch{\sin(x)}{t}\stackrel{-\sin(x)=dt}{=}\bruch{-dt}{t}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Ich habe diese Aufgabe schon mal wegen eines spezifischen Problems eingestellt, jedoch bin ich gespannt, ob ohne Musterlösungseinstellung ihr mir einen alternativweg anbietet...Gruss Kuriger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Do 29.07.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
soll es das Integral [mm] 2*\integral_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\ln(\cos(x)*\tan(x))\ dx} [/mm] oder [mm] 2*\integral_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\ln(\cos(x))*\tan(x)\ dx} [/mm] sein ?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> soll es das Integral
> [mm]2*\integral_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\ln(\cos(x)*\tan(x))\ dx}[/mm]
> oder [mm]2*\integral_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\ln(\cos(x))*\tan(x)\ dx}[/mm]
> sein ?
>
Danke, diese 2 deutigkeit ist mir gar nicht aufgefallen
FRED
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo, es entspricht deinem zweiten Vorschlag...Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo, es entspricht deinem zweiten Vorschlag...Gruss
> Kuriger
Dann scheint mir sogar die Substitution [mm] $u=u(x):=\ln(\cos(x))$ [/mm] noch schneller zielführend zu sein ...
Probiere einfach mal beides aus und entscheide, womit du besser zurecht kommst.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Kuriger,
>
> > Hallo, es entspricht deinem zweiten Vorschlag...Gruss
> > Kuriger
>
> Dann scheint mir sogar die Substitution
> [mm]u=u(x):=\ln(\cos(x))[/mm] noch schneller zielführend zu sein
Es scheint nicht nur so, es ist auch so. Mit Deinem Vorschlag gehts wesentlich schneller !
Gruß FRED
> ...
>
> Probiere einfach mal beides aus und entscheide, womit du
> besser zurecht kommst.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo du
ich krieegs leider nicht auf die Reihen
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{- sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
[mm] 2*\integral [/mm] u * tan(x) * [mm] \bruch{cos(x)}{-sin(x)} [/mm] du
Irgendwie stehen cos(x) und sin (x) gerade auf der falschen Seite...Danke, gruss Kuriger
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Hallo nochmal,
schreibe [mm] $\tan(x)$ [/mm] wieder um, dann bleibt doch vom Integral kaum noch was übrig ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo schachuzipus
Also substituiert erhalte ich...deshalb habe ich auch die Integralgrenzen ersetzt....
Mein substitut, t = ln(cos(x))
doch die obere Integralgrenze t = [mm] ln(cos\bruch{\pi}{4}) [/mm] gibt ja nicht wirklich eine "handfeste" Zahl....
-2 * [mm] \integral_{0}^{ln(cos\bruch{\pi}{4})}{ln(t) * \bruch{sin(x)}{cos(x)} * \bruch{cos(x)}{sin(x)}} [/mm] dt = -2 * [mm] \integral_{0}^{ln(cos\bruch{\pi}{4})}{ln(t) } [/mm] dt
Nun betrachte ich nur mal den Teil [mm] \integral [/mm] ln(t) * 1 = l(t) * t - [mm] \integral [/mm] t * [mm] \bruch{1}{t} [/mm] = t*(ln(t) -1)
[mm] -2*\cdot[t*(ln(t) -1)]_{0}^{ln(cos\bruch{\pi}{4})}= [/mm] -2 * [mm] [ln(cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] - [mm] ln(ln(cos(\bruch{\pi}{4})) [/mm] - (-1)] = ............nun?
Hier der Musterlösungsweg....
Fortsetzung folgt.....
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus
>
> Also substituiert erhalte ich...deshalb habe ich auch die
> Integralgrenzen ersetzt....
> Mein substitut, t = ln(cos(x))
> doch die obere Integralgrenze t = [mm]ln(cos\bruch{\pi}{4})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> gibt ja nicht wirklich eine "handfeste" Zahl....
>
> -2 * [mm]\integral_{0}^{ln(cos\bruch{\pi}{4})}{\red{ln(t)} * \bruch{sin(x)}{cos(x)} * \red{\left(-}\bruch{cos(x)}{sin(x)}\red{\right)}}[/mm] dt = -2 * [mm]\integral_{0}^{ln(cos\bruch{\pi}{4})}{\red{ln(t)} }[/mm] dt
Nicht ganz, du hast doch nicht [mm] $t=\cos(x)$, [/mm] sondern [mm] $t=\ln(\cos(x))$ [/mm] substituiert, außerdem hast du das [mm] \red{-} [/mm] unterwegs verloren, du bekommst also das Integral
[mm] $-2\cdot{}\int\limits_{t=0}^{t=\ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)}{-t \ dt} [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\int\limits_{0}^{\ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)}{t \ dt}= [/mm] \ [mm] \ldots$
[/mm]
>
> Nun betrachte ich nur mal den Teil [mm]\integral[/mm] ln(t) * 1 =
> l(t) * t - [mm]\integral[/mm] t * [mm]\bruch{1}{t}[/mm] = t*(ln(t) -1)
>
> Fortsetzung folgt.....
Ja, aber vorher eben anpassen ... 
Gruß und viel Erfolg
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo schachuzipus
Das minus habe ich vor das INtegral gezogen (-2), geht das so nicht? Gruss Kuriger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Irgendetwas kann da definitiv nicht stimmen: da dieser Ausdruck keine reele Zahl gibt: [mm] ln(ln(cos(\bruch{\pi}{4}))
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich habe es doch so aufgeschrieben? und bene das Minus habe ich vor das INtegral gezogen...
Gruss Kuriger
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Hallo,
ja pardon, da hast du recht, ich hatte auf meinem Schmierzettel eine -2 vor dem Ausgangsintegral stehen statt der korrekten +2 ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Irgendwo muss aber noch ein Bock sein, da ich eben das berechnen eines Teil Error gibt...
Schlussendlich sollte rausschauen: - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] ln^2 [/mm] (2)
Danke, Kuriger
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Hallo nochmal,
> Hallo
>
> Irgendwo muss aber noch ein Bock sein, da ich eben das
> berechnen eines Teil Error gibt...
>
> Schlussendlich sollte rausschauen: - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm]ln^2[/mm] (2)
Ja, das erhalte ich auch.
Das obige substituierte Integral berechnet sich doch einfach zu [mm] $-t^2$ [/mm] und das in den Grenzen $0$ und [mm] $\ln(\cos(\pi/4))$
[/mm]
Und [mm] $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Also ergibt sich [mm] $-\ln^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
[/mm]
Nun bemühe mal alle Logarithmusrechenregeln, die du kennst, um das Teil umzuformen in [mm] $-\frac{1}{4}\ln^2(2)$
[/mm]
> Danke, Kuriger
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Do 29.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo schachuzipus
Stimmt das jetzt soweit?
[mm]-2*\cdot[t*(ln(t) -1)]_{0}^{ln(cos\bruch{\pi}{4})}=[/mm] -2 *
> [mm][ln(cos(\bruch{\pi}{4})[/mm] - [mm]ln(ln(cos(\bruch{\pi}{4}))[/mm] -
> (-1)]
Aber dieser Ausdruck: [mm] ln(ln(cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] ist ja gar nicht ausrechenbar, da kein Resultat im bereich der reelen Zahlen rausschaut...Bitte heflt mir doch Dnake, Kuriger
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Hallo,
um das ganze jetzt mal zum Abschluss zu bringen. Du hast da n ln zu viel und n minus, n viertel sowie n quadrat zu wenig.
Ich benutze im folgende log(x) für den natürlichen logarithmus.
Zu bestimmen ist das folgende Integral:
[mm] 2*\integral_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\log(\cos(x))\tan(x)\ dx}
[/mm]
Die Substitution [mm] t:=\log(\cos(x)) [/mm] liefert [mm] dt=-\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}dx \Leftrightarrow dx=-dt*\frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
[/mm]
Für die Grenzen haben wir x=0 [mm] \Rightarrow t=\log(\cos(0))=\log(1)=0
[/mm]
und [mm] x=\frac{\pi}{4} \Rightarrow t=\log\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
[/mm]
Schreiben wir jetzt [mm] \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} [/mm] dann ergibt sich:
[mm] -2*\integral_{0}^{\log\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{t*\frac{\sin(x)}{\cos(x)}*\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\ dt}=-2\left[\frac{t^2}{2}\right]\limits_{0}^{\log\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}=-2*\left[\frac{1}{2}\log^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-0\right]=-\log^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
[/mm]
So jetzt ist [mm] -\log^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\log\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)*\log\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-(-\log(\sqrt{2}))*(-\log(\sqrt{2}))=-\left(\frac{1}{2}\log(2)*\frac{1}{2}\log(2)\right)=-\frac{1}{4}\log^2(2)
[/mm]
Ich hoffe jetzt hats geschnackelt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Wieso wurde hier einfach ln durch log ersetzt? das verstehe ich nicht....
Danke, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Fr 30.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Wieso wurde hier einfach ln durch log ersetzt? das verstehe
> ich nicht....
log ist lediglich eine andere Schreibweise für ln ( und bez. damit ebenfalls den natürlichen Logarithmus)
FRED
> Danke, Gruss Kuriger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Fr 30.07.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
sag mal hast Du meinen Post gelesen ? Ich habe es doch extra drüber geschrieben...
Das liegt einfach daran, dass im UK die wenigsten ln schreiben, meist wird einfach log geschrieben und der natürliche logarithmus gemeint, das hab ich mir dann auch einfach angewöhnt...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Sa 31.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> sag mal hast Du meinen Post gelesen ? Ich habe es doch
> extra drüber geschrieben...
> Das liegt einfach daran, dass im UK die wenigsten ln
> schreiben, meist wird einfach log geschrieben
.................... nicht nur im UK .....................
FRED
> und der
> natürliche logarithmus gemeint, das hab ich mir dann auch
> einfach angewöhnt...
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Sa 31.07.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
nur zur klärung. die mitteilung ging an kuriger, nicht an dich fred :)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Sa 31.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> nur zur klärung. die mitteilung ging an kuriger, nicht an
> dich fred :)
Ich habs auch nie anders aufgefasst.
Gruß FRED
>
> lg
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