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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:38 Fr 14.10.2011 | | Autor: | answer_3 |
| Aufgabe | | [mm]\int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * (\tan x)^2+1)\ dx [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Laut Lösung müsste [mm]\bruch {1}{1+n} [/mm] rauskommen. Ich komme auf [mm]\bruch {1}{2}[/mm] mittels partieller Integration.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
[mm]\int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * [(\tan x)^2+1]\ dx [/mm] der zweite Faktor im Integral entspricht der Ableitung der Tangensfunktion [mm] (\tan x)^2+1 = \tan'x [/mm].
Partielle Integration mit folgender Formel: [mm] \ f'(x)*\ g(x) = \ f(x)*\ g(x) - \int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} \ f(x)*\ g'(x)\ dx [/mm].
[mm]\int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * [(\tan x)^2+1)]\ dx = (\tan x) * (\tan x)^n - \int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * [(\tan x)^2 + 1]\ dx [/mm]. Jetzt addiere ich das Integral auf beiden Seiten und erhalte,
[mm]2\int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * (\tan x)^2+1)\ dx = [\tan x * (\tan x)^n]^{\bruch {\pi}{4}}_0 [/mm]. Jetzt die [mm]{\bruch {1}{2} [/mm] auf die andere Seite und Grenzen einsetzen.
[mm] = {\bruch {1}{2}}[(\tan {\bruch {\pi}{4}} * (\tan {\bruch {\pi}{4}})^n] - [\tan 0 * (\tan 0)^n] = {\bruch {1}{2}} [1 * 1^n] - 0 = {\bruch {1}{2}} [/mm]
Bin um jede hilfe dankbar, vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Fr 14.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * (\tan x)^2+1)\ dx[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Laut Lösung müsste [mm]\bruch {1}{1+n}[/mm] rauskommen. Ich komme
> auf [mm]\bruch {1}{2}[/mm] mittels partieller Integration.
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
> [mm]\int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * [(\tan x)^2+1]\ dx[/mm]
> der zweite Faktor im Integral entspricht der Ableitung der
> Tangensfunktion [mm](\tan x)^2+1 = \tan'x [/mm].
> Partielle
> Integration mit folgender Formel: [mm]\ f'(x)*\ g(x) = \ f(x)*\ g(x) - \int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} \ f(x)*\ g'(x)\ dx [/mm].
Ich denke, Du weißt wie die Formel richtig lautet. So wie sie oben steht ist sie falsch
>
> [mm]\int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * [(\tan x)^2+1)]\ dx = (\tan x) * (\tan x)^n - \int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * [(\tan x)^2 + 1]\ dx [/mm].
Das stimmt nicht.
Richtig:
[mm]\int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * [(\tan x)^2+1)]\ dx = [(\tan x) * (\tan x)^n]_0^{\pi/4} - \int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} n*(\tan x)^n * [(\tan x)^2 + 1]\ dx [/mm].
Denn die Ableitung von [mm] (tanx)^n [/mm] ist [mm] n(tanx)^{n-1}(tan^2x+1)
[/mm]
FRED
> Jetzt addiere ich das Integral auf beiden Seiten und
> erhalte,
> [mm]2\int_{0}^{\bruch {\pi}{4}} (\tan x)^n * (\tan x)^2+1)\ dx = [\tan x * (\tan x)^n]^{\bruch {\pi}{4}}_0 [/mm].
> Jetzt die [mm]{\bruch {1}{2}[/mm] auf die andere Seite und Grenzen
> einsetzen.
> [mm]= {\bruch {1}{2}}[(\tan {\bruch {\pi}{4}} * (\tan {\bruch {\pi}{4}})^n] - [\tan 0 * (\tan 0)^n] = {\bruch {1}{2}} [1 * 1^n] - 0 = {\bruch {1}{2}}[/mm]
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> Bin um jede hilfe dankbar, vielen Dank!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:36 Sa 15.10.2011 | | Autor: | answer_3 |
Danke dir, das war sehr hilfreich!!! Die Formal des partiellen Integrierens wusste ich schon, habe nur das erste mal mit diesem Editor gearbeitet. Mein Problem war, dass ich falsch abgeleitet habe.
danke noch mal!
Rüdi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Fr 14.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgende Verallgemeinerung:
f sei stetig differenzierbar, dann ist
(*) [mm] $\integral_{}^{}{f(x)^n*f'(x) dx}=\bruch{1}{n+1}f(x)^{n+1}(x)$,
[/mm]
wie man durch partielle Integration oder durch Differentiation der rechten Seite sofort bestätigt.
Für $f(x)=x$ sollte (*) jedem bekannt sein.
FRED
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