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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 So 03.10.2004 | | Autor: | mrok123 |
Hallo,
sitze hier an einem Integral was ich nicht bilden kann, vielleicht könnt Ihr mir helfen:
[mm] \wurzel{-x^2+10x} [/mm]
Also diese Funktion möchte ich gern integriern, wie soll ich dabei am besten vorgehen?
Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:18 So 03.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo,
> sitze hier an einem Integral was ich nicht bilden kann,
> vielleicht könnt Ihr mir helfen:
> [mm]\wurzel{-x^2+10x}[/mm]
>
> Also diese Funktion möchte ich gern integriern, wie soll
> ich dabei am besten vorgehen?
Ich würde spontan auf ein Substitutionsverfahren wetten, bin mir aber nicht ganz sicher. Was hast du denn schon alles probiert?
Gruß Micha
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Hallo, mrok123
quadratische Ergänzung
[mm] $-x^2+10x [/mm] = [mm] -(x-5)^2 [/mm] + 25 = [mm] 5^2 \left( 1 - \left(\bruch{x-5}{5} \right)^2 \right)$
[/mm]
Die [mm] $5^2$ [/mm] kommt natürlich als 5 vor die [mm] $\sqrt{...}$
[/mm]
und
wenn Du nun noch die Substitution [mm] $\sin [/mm] u = [mm] \bruch{x-5}{5}$
[/mm]
verwendest sollte der Rest nicht mehr schwer sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 03.10.2004 | | Autor: | mrok123 |
Ja also das was du schreibst ist mir soweit klar,
was du aber mit der Substitution sin u meinst absolut nicht.
Voher nimmst du das sin u einfach?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 03.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich habe es nochmal überarbeitet:
> Ja also das was du schreibst ist mir soweit klar,
> was du aber mit der Substitution sin u meinst absolut
> nicht.
>
> Voher nimmst du das sin u einfach?
[mm] $f(x)=\sqrt{-x^2+10x} [/mm] = [mm] \sqrt{-(x-5)^2 + 25} [/mm] = [mm] 5\sqrt{ 1 - \bruch{x-5}{5} ^2 }$ [/mm] .
Nun willst du das unter der Wurzel noch umformen, damit du integreren kannst. Er verwendet dabei einen Trick, nämlich das [mm]\sin^2 u + \cos^2 u = 1[/mm] ist. Umgestellt also: [mm] 1-\sin^2 u = \cos^2 u[/mm].
Deswegen ersetzt er $u = [mm] \bruch{x-5}{5}$. [/mm] Mit der Funktion [mm] u(x) = \bruch{x-5}{5}[/mm] und [mm] \bruch{du}{dx}=u'(x) = \bruch{1}{5}\gdw dx = 5 \cdot du[/mm].
Dann hast du Folgendes:
[mm] \integral {f(x) dx}= \integral {5\sqrt{ 1 - \bruch{x-5}{5} ^2 }dx}[/mm]
[mm] = 5 \integral {\sqrt{1-\sin^2 u} \cdot 5 \,du} = 5\cdot 5\cdot \integral{\sqrt{\cos^2 u}\,du} = 25 \cdot \integral{\cos u\, du} = 25 \sin u + c_1 [/mm]
Resubstitution: [mm] \integral {f(x) dx} = 25 \cdot \sin \bruch{x-5}{5} + c_2[/mm]
Hoffe es ist jetzt etwas klarer geworden und ich habe nichts mehr falsch.
Gruß Micha
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Hathorman hat einen kleinen Fehler
es muß natürlich
[mm] $5*\wurzel{1+\left(\frac{x-5}{5}\right)^ 2}$ [/mm] lauten
mit
[mm] $\frac{x-5}{5}=\sin [/mm] u$, das u ist eine beliebiger Variablenname
ergibt sich
[mm] $\frac{\text{dx}}{5} [/mm] = [mm] \cos u\,\text{du}$
[/mm]
also
[mm] $\text{dx}=5\cos u\,\text{du}$
[/mm]
womit das Integral zu
[mm] $\int (5\cos u)(5\cos u)\,\text{du} =25\int \cos [/mm] ^ 2 [mm] u\,\text{du}$ [/mm] wird,
und [mm] $\cos [/mm] ^ 2 u = [mm] \frac{1+\cos 2u}{2}$ [/mm] gilt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 So 03.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Friedrich!
> Hathorman hat einen kleinen Fehler
Ich hatte den Fehler von dir per Copy&Paste übernommen, werde es jetzt berichtigen..
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 So 03.10.2004 | | Autor: | mrok123 |
wieso ist das jetzt
$ [mm] 5\cdot{}\wurzel{1+\left(\frac{x-5}{5}\right)^ 2} [/mm] $
und nicht
$ [mm] 5\cdot{}\wurzel{1-\left(\frac{x-5}{5}\right)^ 2} [/mm] $
das müsste doch minus sein denn:
1-sin^2u=cos^2u
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 So 03.10.2004 | | Autor: | Micha |
> wieso ist das jetzt
> [mm]5\cdot{}\wurzel{1+\left(\frac{x-5}{5}\right)^ 2}[/mm]
>
> und nicht
> [mm]5\cdot{}\wurzel{1-\left(\frac{x-5}{5}\right)^ 2}[/mm]
>
> das müsste doch minus sein denn:
> 1-sin^2u=cos^2u
>
Die zweite Version ([mm]5\cdot{}\wurzel{1-\left(\frac{x-5}{5}\right)^ 2}[/mm] ) ist auch richtig. Der gute Friedrich hatte mich da auch etwas durcheinander gebracht:
[mm]-x^2 +10x = -(x^2 -10x) = \dots [/mm]
Jetzt die quadratische Ergänzung:
[mm] \dots = - ( (x-5)^2 -25 ) = -(x-5)^2 +25 = 25 -(x-5)^2[/mm]
Wie du die quadratische Ergänzung ermittelst, weisst du, oder?
Anschließend folgt dieses:
[mm] \sqrt{-x^2 +10x} = \sqrt{25 - (x-5)^2} = \sqrt {25 \cdot \left(1 - \bruch{(x-5)^2}{25}\right) } = 5 \sqrt{ 1- \left(\bruch{x-5}{5}\right)^2} [/mm]
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 03.10.2004 | | Autor: | mrok123 |
Super jetzt habe ich es verstanden Danke.
eine Sache noch wie ziehst du aus [mm] (x-5)^2 [/mm] die [mm] 5^2 [/mm] raus,
sodass du auf $ [mm] \bruch{x-5}{5} [/mm] $
kommst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 So 03.10.2004 | | Autor: | Micha |
> Super jetzt habe ich es verstanden Danke.
> eine Sache noch wie ziehst du aus [mm](x-5)^2[/mm] die [mm]5^2[/mm]
> raus,
> sodass du auf [mm]\bruch{x-5}{5}[/mm]
>
> kommst.
>
Mache ich auch gar nicht, ich habe doch bei allem, was dort unter der Wurzel steht, die $25 = [mm] 5^2$ [/mm] ausgeklammert:
[mm] $f(x)=\sqrt{-x^2+10x} [/mm] = [mm] \sqrt{-(x-5)^2 + 25} =\sqrt{25 - (x^2-5)^2}=\sqrt{25\cdot \left(1-\frac{(x^2-5)^2}{25}\right)}= \sqrt{25} \cdot \sqrt{ 1 - \bruch{(x-5)^2}{5^2} } [/mm] = [mm] 5\sqrt{ 1 - \left(\bruch{x-5}{5}\right)^2 }$
[/mm]
Schönen Sonntag nachmittag noch, Micha 
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