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| Aufgabe | (i) Ist x [mm] \in \IR, [/mm] so gilt für alle n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{x}{exp(x-t)t^n dt}=n! \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}
[/mm]
(ii) Untersuchen Sie, ob der Grenzwert existiert und geben Sie ggf. den Grenzwert an:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\pi}^{x}{x exp(t^2-x^2) dt} [/mm] |
Hallo Ihr Lieben!
Erneut stehe ich vor einem Problem.
Zu (i): Ich komme nicht auf die Gleichung, wenn ich das Integral bestimme. Was habe ich gemacht:
[mm] \integral_{0}^{x}{exp(x-t)t^n dt}=n! \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}=
[/mm]
[mm] \integral_{t}^{x}{\bruch{exp(x)}{exp(t)}t^n dt}= |-exp(x)exp(-t)n+1t^{n+1}|_{0}^{x}... [/mm] Nun bleibe ich hier hängen. Habe ich hier etwas falsch gemacht?
Zu (ii): Wie kann ich hier fortfahren?!
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\pi}^{x}{x exp(t^2-x^2) dt}=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\pi}^{x}{x \bruch{exp(t^2)}{exp(x^2)}dt}= [/mm] (Hier habe ich die partielle Integration angewandt, aber es klappt nicht! Beim Bruch scheitere ich. Ist hier die partielle Integration richtig gewählt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
viele Grüße, favourite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Sa 30.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo favourite
i) geht mit vollst Induktion. für den Induktionsschritt partielle Integration verwenden .
alle Anteile mit x kannst du vor das Integral ziehen.
das ii Integral ist nicht lösbar. da steht ja
[mm] x*e^{-x^2}*\integral_{a}^{x}{e^{t^2} dt}
[/mm]
Das integral selbst kann man nicht mit elementaren Mitteln lösen. Vielleicht hilft ein Reihenansatz?
Gruss leduart
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Hallo leduart!
Den Reihenansatz kenn ich leider nicht (vllt. noch nicht). Kennst Du anderweitige Methode, um die Nichtlösbarkeit zu zeigen?
viele Grüße, favourite
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Di 02.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:41 So 31.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (i) Ist x [mm]\in \IR,[/mm] so gilt für alle n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{exp(x-t)t^n dt}=n! \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}[/mm]
Es ist doch [mm] $\exp(t [/mm] - x) = [mm] \exp(t) \exp(-x)$. [/mm] Setz doch mal [mm] $\exp(t) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ [/mm] ein, zieh die Summe (und das [mm] $\exp(-x)$) [/mm] aus dem Integral raus, und integriere jeden Summanden einzelnd. Eventuell kommt man damit auch ganz gut zum Ziel.
> (ii) Untersuchen Sie, ob der Grenzwert existiert und geben
> Sie ggf. den Grenzwert an:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\pi}^{x}{x exp(t^2-x^2) dt}[/mm]
Hier kommt das $n$ nur ein einziges mal vor: beim Limes. Also kann man ihn auch weglassen. Aber dann macht die Aufgabenstellung keinen Sinn mehr.
Also: schau mal nach ob du hier was weggelassen hast!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 So 31.01.2010 | | Autor: | favourite |
Upps,
nicht n geht gegen unendlich, sondern x.
Gruß, favourite
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