Integration von (1-x^2)^0.5 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Integral: [mm] (1-x^2)^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo,
ich komm gleich zur sache, weil ich dadurch, dass ich dieses einfahce Problem nicht raffe, bissl schlechte laune habe.
Ich habe wie folgt gearbeitet:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel[n]{1-x^2)}dx}
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] sin(t)
daraus folgt: - [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel[n]{(1-sin^2(t)) }*cos(t)dt}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel[n]{(cos^2(t)} dt}
[/mm]
[mm] cos^2(t) [/mm] = 1/2 + cos(2t)/2
[mm] \integral_{a}^{b}{(1/2 + (cos(2t)/2)) dt}
[/mm]
= t/2 + sin(2*t)/4
t = arcsin(x)
ergibt:
-1/2 * arcsin(x) + cos(2*arcsin(x))/2 *arcsin(x)
und das ist ja nicht korrekt.
Wo liegt mein Fehler?
danke
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Hallo problemchen,
> Integral: [mm](1-x^2)^2[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hallo,
>
> ich komm gleich zur sache, weil ich dadurch, dass ich
> dieses einfahce Problem nicht raffe, bissl schlechte laune
> habe.
>
> Ich habe wie folgt gearbeitet:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{(1-x^2 dx}[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] sin(t)
Oh wei, mache dich doch nicht unglücklich 
Multipliziere doch gem. binomischer Formel aus [mm] $(1-x^2)^2=1-2x^2+x^4$
[/mm]
Und son olles Polynom kannst du doch aus dem Lameng integrieren ...
> daraus folgt: - [mm]\integral_{a}^{b}{(1-sin^2(t) *cos(t)dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{(cos^2(t) dt}[/mm]
Du hast schon was unterschlagen:
Mit deiner Substitution bekommst du [mm] $\int{(1-\sin^2(t))^{\red{2}}\cdot{}\cos(t) \ dt}=\int{\left[\cos^2(t)\right]^2\cdot{}\cos(t) \ dt}=\int{\cos^5(t) \ dt}$
[/mm]
Und das ist viel ekeliger zu lösen als das einfache Polynom oben ...
>
> [mm]cos^2(t)[/mm] = 1/2 + cos(2t)/2
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{(1/2 + (cos(2t)/2)) dt}[/mm]
> = t/2 +
> sin(2*t)/4
>
> t = arcsin(x)
>
> ergibt:
> -1/2 * arcsin(x) + cos(2*arcsin(x))/2 *arcsin(x)
>
>
> und das ist ja nicht korrekt.
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
> danke
LG
schachuzipus
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ich hab die frage ausgebessert, hatte mich vertippt ;)
Das andere integral wäre doch zu einfach *g*
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Do 02.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Irgendwie sehe ich da keinen Unterschied.
Schreib (evtl sogar in einem komplett neuen Thread oder zumindest als Rückfrage hier) die Aufgabe nochmal sauber auf.
Marius
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
ist echt $\int{\sqrt[n]{1-x^2} \ dx}$ gemeint oder doch eher $\int{\sqrt{1-x^2}} \ dx}$
Ersteres ist lt. elektronischem Knecht nicht elementar darstellbar ...
Irgendwie ist dein post unübersichtlich, vllt. schreibst du nochmal separat auf, welches Integral du nun verarzten willst
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
nach eingehender Recherche, habe ich nun doch herausgefunden, dass du das Integral [mm] $\int{\sqrt{1-x^2} \ dx}$ [/mm] berechnen sollst.
Es ist alles bis zur Resubstitution richtig.
Das berechnete Integral lautet(e) [mm] $\frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{4}$
[/mm]
Mit [mm] $t=\arcsin(x)$ [/mm] ist das
[mm] $=\frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{\sin(2\arcsin(x))}{4}=\frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{\sin(\arcsin(x)+\arcsin(x))}{4}\underbrace{=}_{\text{Additionstheorem/doppelter Winkel}}\frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{2\sin(\arcsin(x))\cos(\arcsin(x))}{4}$
[/mm]
Nun verwende [mm] $\cos(z)=\sqrt{1-\sin^2(z)}$
[/mm]
Dann vereinfacht es sich kollossal
LG
schachuzipus
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