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| Aufgabe | Man finde a,b,c so, dass :
[mm] \frac{1}{x^{3}-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2+x+1} [/mm] |
Hallo
ich habe die Gleichung umgeformt zu:
[mm] \gdw \frac{1}{x^{3}-1}= \frac{ax^2+ax+a+bx^2-b+cx-c}{x^{3}-1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1= [mm] ax^2+ax+a+bx^2-b+cx-c
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1= [mm] (a+b)*x^2+(a+c)*x+(a-b-c)*1
[/mm]
damit auch 1 herauskommt müssen die ersten beiden Faktoren ja =0 sein oder?
dann gilt:
1: a+b=0
2: a+c=0
und damit die linke Seite =1 ist muss außerdem erfüllt sein:
3: a-b-c=1
aus dem Gleichungssystem folgt:
a=(1/3) b=(-1/3) c=(-1/3)
ist das so richtig?
und dann soll ich noch die Stammfunktion zu [mm] f(x)=\frac{1}{x^{3}-1} [/mm] finden.
Da habe ich leider Probleme. Wenn ich substituiere erhalte ich : [mm] z=x^3-1
[/mm]
[mm] dx=(dz)(3x^2)
[/mm]
also:
[mm] \integral_{a}^{b}{\frac{1}{x^3 -1 } dx}= \integral_{a^3 -1 }^{b^3 -1}{\frac{1}{z} \frac{dz}{3x^2}}
[/mm]
wenn ich jetzt : [mm] x^3 [/mm] -1 =z umforme zu [mm] \gdw x^2= \wurzel{z+1}
[/mm]
dann erhalte ich:
(1/3)* [mm] \integral_{a^3 -1 }^{b^3 -1}{\frac{1}{z} \frac{dz}{\wurzel{z+1}}}
[/mm]
Allerdings weiß ich hier nicht mehr so recht weiter..
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey
ja du hast recht. Dennoch komme ich auf das selbe Ergebnis und erhalte letztendlich:
[mm] \frac{1}{x^3 -1}= \frac{1/3}{x-1}+\frac{(-1/3)x-(2/3)}{x^2+x+1}
[/mm]
wie ich den ersten Bruch integriere ist mir klar.
Allerdings habe ich Probleme mit dem zweiten Bruch..
Wie kann ich [mm] \frac{(-1/3)x-(2/3)}{x^2+x+1} [/mm] integrieren?
LG
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Hallo,
zunächst mal ist deine Partialbruchzerlegung richtig, nur etwas unglücklich notiert. Warum nicht bspw. komplett den Faktor 1/3 ausklammern, dann sähe das Ganze so aus:
[mm] \frac{1}{x^3-1}= \frac{1}{3}*\left[ \frac{1}{x-1}- \frac{x+2}{x^2+x+1}\right]
[/mm]
Nun zum Integrieren: jetzt geht ja der Spaß erst richtig los, so direkt kommst du beim zweiten Bruch nicht ans Ziel. Mache dir mal klar, was dir jetzt die Zerlegung
[mm] \bruch{x+2}{x^2+x+1}=\bruch{x+1/2}{x^2+x+1}+\bruch{3/2}{x^2+x+1}
[/mm]
bringt. Im Gegensatz zu Loddar bin ich der Ansicht, dass man hier schon eine Substitution benötigt, genauer gesagt: zwei.
Beim ersten meiner oben vorgeschlagenen Summanden soltest du es jetzt selbst sehen.
Beim zweiten bringe mal den Nenner durch eine quadratische Ergänzung auf die Form [mm] (x+a)^2+b^2, [/mm] dann sollte der Sinn und Zweck meines Tipps zumindest klar sein.
Ich sehe hier keine einfachere Möglichkeit, möchte aber jetzt auch nicht garantieren, dass es eine solche nicht gibt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Sa 10.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich habe nicht alles gelesen, aber die Integration geht
ganz simpel ohne Substitution.
> [mm]\frac{1}{x^3-1}= \frac{1}{3}*\left[ \frac{1}{x-1}- \frac{x+2}{x^2+2x+1}\right][/mm]
>
> Nun zum Integrieren: jetzt geht ja der Spaß erst richtig
> los, so direkt kommst du beim zweiten Bruch nicht ans Ziel.
> Mache dir mal klar, was dir jetzt die Zerlegung
>
> [mm]\bruch{x+2}{x^2+x+1}=\bruch{x+1/2}{x^2+x+1}+\bruch{3/2}{x^2+x+1}[/mm]
Es gilt:
[mm] \frac{x+2}{x^2+2x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}.
[/mm]
Nun sollte es klar sein.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Sa 10.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
>
> Ich habe nicht alles gelesen, aber die Integration geht
> ganz simpel ohne Substitution.
>
> > [mm]\frac{1}{x^3-1}= \frac{1}{3}*\left[ \frac{1}{x-1}- \frac{x+2}{x^2+2x+1}\right][/mm]
>
> >
> > Nun zum Integrieren: jetzt geht ja der Spaß erst richtig
> > los, so direkt kommst du beim zweiten Bruch nicht ans Ziel.
> > Mache dir mal klar, was dir jetzt die Zerlegung
> >
> >
> [mm]\bruch{x+2}{x^2+x+1}=\bruch{x+1/2}{x^2+x+1}+\bruch{3/2}{x^2+x+1}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]\frac{x+2}{x^2+2x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}.[/mm]
>
> Nun sollte es klar sein.
>
>
> Gruß
> DieAcht
Hallo DieAcht,
Diophant hatte in einer Zeile einen Schreibfehler, den du übernommen hast. Es ging im Nenner um [mm] $x^2+x+1$, [/mm] nicht um [mm] $x^2+2x+1$.
[/mm]
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo abakus,
danke für die Korrektur. Ich habe den Fehler mittlerweile ausgebessert.
Gruß, Diophant
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Hey
erstmal danke für deine Antwort.
>
> [mm]\bruch{x+2}{x^2+x+1}=\bruch{x+1/2}{x^2+x+1}+\bruch{3/2}{x^2+x+1}[/mm]
>
> Beim ersten meiner oben vorgeschlagenen Summanden soltest
> du es jetzt selbst sehen.
für den Bruch :
[mm] \bruch{x+1/2}{x^2+x+1}
[/mm]
erhalte ich dann durch quadratische Ergänzung:
[mm] =\bruch{x+1/2}{(x+0,5)+0,75}
[/mm]
durch Substitution z= x+0,5 erhalte ich:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x+1/2}{(x+0,5)+0,75} dx}=\integral_{}^{}{\frac{z}{z^2+0,75} dx}
[/mm]
hier komme ich leider nicht weiter..
>
> Beim zweiten bringe mal den Nenner durch eine quadratische
> Ergänzung auf die Form [mm](x+a)^2+b^2,[/mm] dann sollte der Sinn
> und Zweck meines Tipps zumindest klar sein.
für den 2. Bruch erhalte ich ebenfalls durch Substitution:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{3/2}{x^2+x+1} dx}=(3/2) \integral_{}^{}{\frac{1}{z^2+0,75} dx}= ln(z^2+0,75)=ln(x^2 [/mm] +x +0,25+0,75)=(2/3)* [mm] ln(x^2+x+1)
[/mm]
stimmt das so?
LG
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Hallo,
Erstens: man kann das da oben kaum lesen. Ein wenig mehr Sorgfalt sollte man da schon aufbringen, egal ob man neu mit LaTeX umgeht oder ein alter Hase ist.
EDIT: ok, das hat sich erledigt.
Zweitens: so viel kann man sagen, dass du meinen Tipp völlig falsch verstanden hast. Allerdings bin ich eigentlich schon der Ansicht, mich klar ausgedrückt und für unsere Verhältnisse eine relativ weitreichende Antwort gegeben zu haben. Sprich: auch hier vermisse ich Gründlichkeit.
Drittens: das Integral
[mm] \int{ \frac{x+0.5}{x^2+x+1} dx}= \frac{1}{2}\int{ \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx}
[/mm]
löst man durch die völlig triviale Substitution
[mm] z=x^2+x+1
[/mm]
Wozu sollte es da einer quadratischen Ergänzung im Nenner bedürfen? Habe ich das irgendwo geschrieben?
Integrale der Form
[mm] \int{ \frac{D}{Ax^2+Bx+C} dx}
[/mm]
führen wegen
[mm] \int{ \frac{1}{x^2+1} dx}=arctan(x)+C
[/mm]
oft auf irgendeine Arkustangens-Funktion. Das war der Sinn des Tipps mit der quadratischen Ergänzung.
Wie wäre es nun also mit einem etwas überlegteren Versuch, das ganze umzusetzen? 
Gruß,Diophant
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Hey
okay ich habe mich nochmals versucht und erhalte nun für:
1.0,5 [mm] \integral_{}^{}{\frac{2x+1}{x^2+x+1} dx}= ln(x^2+x+1)
[/mm]
das müsste stimmen, da ich durch Substitution z' kürzen konnte
zu 2:
[mm] (3/2)*\integral_{}^{}{\frac{1}{x^2+x+1} dx}=(3/2)*\integral_{}^{}{\frac{1}{(x+0,5)^2-0,75} dx}
[/mm]
um den Arcustangens als Stammfunktion benutzen zu können muss der Nenner ja die Form [mm] (x^2 [/mm] +1 ) haben, allerdings habe ich hier keine Idee, wie ich diesen darauf bringen kann. Ich habe versucht deinen Tipp(mit A,B und C) nachzuvollziehen, doch leider ist mir fraglich wo die Variablen A und B in deinem Beispiel hin verschwinden
Lg
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Hallo,
> Hey
> okay ich habe mich nochmals versucht und erhalte nun
> für:
> 1.0,5 [mm]\integral_{}^{}{\frac{2x+1}{x^2+x+1} dx}= ln(x^2+x+1)[/mm]
Falsch! Die Fehler sind elementar und die richtige Lösung lautet:
[mm] \bruch{1}{2}*\int{\bruch{2x+1}{x^2+x+1}}=\bruch{1}{2}ln|x^2+x+1|
[/mm]
(was man durchaus noch weiter umformen könnte...).
>
> das müsste stimmen, da ich durch Substitution z' kürzen
> konnte
>
> zu 2:
> [mm](3/2)*\integral_{}^{}{\frac{1}{x^2+x+1} dx}=(3/2)*\integral_{}^{}{\frac{1}{(x+0,5)^2-0,75} dx}[/mm]
>
Auch obiges ist falsch, und auch hier ist der Fehler elementar. Es ist
[mm] \bruch{1}{x^2+x+1}=\bruch{1}{(x+0.5)^2+0.75}
[/mm]
> um den Arcustangens als Stammfunktion benutzen zu können
> muss der Nenner ja die Form [mm](x^2[/mm] +1 ) haben,
Weshalb? Ich habe ja nirgends geschrieben, dass es so einfach geht. Mein Hinweis war als Anregung gedacht und ich möchte hier den Hinweis nachschieben, dass der Sinn und Zweck dieses Forums nicht darin besteht, fertige Lösungen zu geben.
> allerdings
> habe ich hier keine Idee, wie ich diesen darauf bringen
> kann. Ich habe versucht deinen Tipp(mit A,B und C)
> nachzuvollziehen, doch leider ist mir fraglich wo die
> Variablen A und B in deinem Beispiel hin verschwinden
A=1.5 ; B=C=D=1 ...
Du machst hier insgesamt ein paar grundlegende Fehler. Erstens scheinst du deine Resultate nicht irgendwie auf Plausibilität hin zu überprüfen. Zweitens nimmst du jeden Hinweis wörtlich und rennst ihm hinterher, anstatt seinen Bezug zur eigentlichen Problematik nachzuvollziehen. Immerhin hast du oben versucht, den letzten Summanden fälschlicherweise per Logarithmus zu integrieren, ich wollte dich doch nur darauf aufmerksam machen, dass es da auf einen Arkustangens hinausläuft.
Dein dritter Fehler ist der, dass du (der GTR lässt grüßen?  ) viel zu mechanistisch an die Mathematik herangehst. Da geht es nicht um Strickmuster, sondern da muss viel eigenständiger nachgedacht werden als du es hier tust. Und bevor jetzt irgendjemand das als persönlichen Angriff wertet: ich schreibe dies, weil ich es per se jedem zutraue, also keinesfalls will ich damit sagen, dass ich es dir nicht zutrauen würde. Machen musst du es aber, zumindest wenn du dir das (mathematische) Leben leichter machen möchtest!
Ein letztes Mal will ich dir jedoch beim Stricken helfen. Diese altmodischen Dinger, Formelsammlung oder irgendwie so ähnlich hieß das glaub ich, dort standen so Dinge wie:
[mm] \int{ \frac{1}{x^2+a^2} dx}=\bruch{1}{a}*arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C
[/mm]
Aber die Verwendung dieser Formelsammlungen ist irgendwie aus der Mode gekommen, es ist zum googeln...
Gruß, Diophant
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Hey
nein, ich nehme dies nicht als persönlichen Angriff. Ich schätze deine Worte und Geduld. Mir fehlt es auch nicht an Formeln, sonder gerade zumindest eher am Verständins.
Ich habe ja
[mm] \frac{1}{x^2+x+1}
[/mm]
wie kann ich daraus [mm] \frac{1}{x^2+a} [/mm] machen? ich könnte a=x+1 wählen, aber das macht ja im Bezug zur Vorgehensweise keinen sinn
LG
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Hallo,
> Ich habe ja
> [mm]\frac{1}{x^2+x+1}[/mm]
> wie kann ich daraus [mm]\frac{1}{x^2+a}[/mm] machen? ich könnte
> a=x+1 wählen, aber das macht ja im Bezug zur
> Vorgehensweise keinen sinn
[mm] \bruch{1}{x^2+x+1}=\bruch{1}{(x+0.5)^2+0.75}
[/mm]
und dann noch die (lineare) Substitution z=x+0.5. Daher schrieb ich ja weiter oben, dass es streng genommen zwei Substitutionen sind.
Gruß, Diophant
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da hast Du leider ein $x_$ verschlampt.
