Integration über R2: Fläche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei a > 0 ein fester Parameter. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereiches B, der zwischen den durch die Gleichungen xy = [mm] a^{2} [/mm] und x+y= [mm] \bruch{5}{2}a [/mm] definierten Kurven liegt, wobei x > 0 ist.
(Hier ist noch eine Abbildung für a = 2 gegeben) |
| Aufgabe 2 | Sei der obere Halbkreis mit Radius R > 0
HK = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le R^{2}, [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0}
Bestimmen Sie den Wert des Integrals [mm] \integral_{HK}^{}{15x^{2}y dF}
[/mm]
Hinweis: Geeignete Koordinaten machen das Leben leichter. |
Hallo zusammen,
ich hänge gerade bei dieser Aufgabe. Das Problem ist, die Integrationsgrenzen zu bestimmen. Ich weiß, dass ich entweder für x feste Grenzen brauche, also Zahlen wie 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] a, und dann für y Variable Grenzen, also Funktionne von x, oder eben andersherum. Die Variablen Grenzen lassen sich ja leicht finden, indem ich einfach bspw. nach y umstelle zu:
[mm] \bruch{5}{2}a-x \le [/mm] y [mm] \le \bruch{a^{2}}{x}.
[/mm]
Wie komme ich aber an die festen Grenzen?
Bei der zweiten Aufgabe habe ich im Prinzip genau das selbe Problem.
Ich kann für y feste Grenzen finden:
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] R
Dann brauche ich aber für x variable Grenzen und da finde ich nur eine Grenze: x [mm] \le \wurzel{R^{2}-y^{2}}.
[/mm]
Kann auch mit dem gegebenen Hinweis nicht viel anfangen.
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo guitarhero,
> Sei a > 0 ein fester Parameter. Berechnen Sie den
> Flächeninhalt des Bereiches B, der zwischen den durch die
> Gleichungen xy = [mm]a^{2}[/mm] und x+y= [mm]\bruch{5}{2}a[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
definierten
> Kurven liegt, wobei x > 0 ist.
> (Hier ist noch eine Abbildung für a = 2 gegeben)
> Sei der obere Halbkreis mit Radius R > 0
> HK = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] : [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2} \le R^{2},[/mm] y [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 0}
>
> Bestimmen Sie den Wert des Integrals
> [mm]\integral_{HK}^{}{15x^{2}y dF}[/mm]
>
> Hinweis: Geeignete Koordinaten machen das Leben leichter.
> Hallo zusammen,
>
> ich hänge gerade bei dieser Aufgabe. Das Problem ist, die
> Integrationsgrenzen zu bestimmen. Ich weiß, dass ich
> entweder für x feste Grenzen brauche, also Zahlen wie 0
> [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] a, und dann für y Variable Grenzen, also
> Funktionne von x, oder eben andersherum. Die Variablen
> Grenzen lassen sich ja leicht finden, indem ich einfach
> bspw. nach y umstelle zu:
> [mm]\bruch{5}{2}a-x \le[/mm] y [mm]\le \bruch{a^{2}}{x}.[/mm]
> Wie komme ich
> aber an die festen Grenzen?
>
Setze Obergrenze gleich der Untergrenze
und ermittle daraus die Werte für x.
>
> Bei der zweiten Aufgabe habe ich im Prinzip genau das selbe
> Problem.
> Ich kann für y feste Grenzen finden:
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] R
> Dann brauche ich aber für x variable Grenzen und da finde
> ich nur eine Grenze: x [mm]\le \wurzel{R^{2}-y^{2}}.[/mm]
Die Untergrenze von x ergibt sich doch zu: [mm]-\wurzel{R^{2}-y^{2}}[/mm]
> Kann auch
> mit dem gegebenen Hinweis nicht viel anfangen.
>
Mit dem Hinweis sind wohl Polarkoordinaten gemeint.
> Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
> Gruß
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
zu Aufgabe 1:
Achso, so einfach! Habe dann [mm] \bruch{1}{2}a \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2a heraus.
Für den Flächeninhalt dann schlussendlich ln 2 * [mm] a^{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{2}a [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}.
[/mm]
Zu Aufgabe 2:
Stimmt, die untere Grenze ergibt sich ja auch direkt aus dem Auflösen.
Wenn ich das nun mit Polarkoordinaten machen will, ergeben sich als Grenzen
0 [mm] \le \gamma \le \pi [/mm] (Halbkreis) und für r
[mm] -\wurzel{x^{2}+y^{2}} \le [/mm] r [mm] \le \wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] (Aber [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] ist doch eben gleich r!?)
Und in die Funktion setze ich dann einfach x= r * cos [mm] \gamma [/mm] und y= r * sin [mm] \gamma [/mm] ein?
Gruß
guitarhero
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Hallo guitarhero,
> Hallo MathePower,
>
> zu Aufgabe 1:
> Achso, so einfach! Habe dann [mm]\bruch{1}{2}a \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2a
> heraus.
> Für den Flächeninhalt dann schlussendlich ln 2 * [mm]a^{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{5}{2}a[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}.[/mm]
>
Rechne das mal vor.
>
> Zu Aufgabe 2:
> Stimmt, die untere Grenze ergibt sich ja auch direkt aus
> dem Auflösen.
>
> Wenn ich das nun mit Polarkoordinaten machen will, ergeben
> sich als Grenzen
> 0 [mm]\le \gamma \le \pi[/mm] (Halbkreis) und für r
> [mm]-\wurzel{x^{2}+y^{2}} \le[/mm] r [mm]\le \wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] (Aber
> [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] ist doch eben gleich r!?)
>
Nein, [mm]0 \le r \le R[/mm]
Dann benötigst Du noch die Funktionaldeterminante der Parametertransformation.
> Und in die Funktion setze ich dann einfach x= r * cos
> [mm]\gamma[/mm] und y= r * sin [mm]\gamma[/mm] ein?
>
> Gruß
> guitarhero
Gruss
MathePower
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Okay also für den Flächeninhalt:
A= [mm] \integral_{\bruch{1}{2}a}^{2a}\integral_{\bruch{5}{2}a-x}^{\bruch{a^{2}}{x}}{dy dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{\bruch{1}{2}a}^{2a}(\bruch{a^{2}}{x}-\bruch{5}{2}a+x [/mm] dx)
[mm] =a^{2}*ln [/mm] x - [mm] \bruch{5}{2}ax+\bruch{1}{2}x^{2} [/mm] in Grenzen 2a und [mm] \bruch{1}{2}a
[/mm]
[mm] =(a^{2}*(ln(2a) [/mm] - 5 + 2)) - [mm] (a^{2}*(ln(\bruch{1}{2}a) [/mm] - [mm] \bruch{5}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8})
[/mm]
[mm] =a^{2}*(ln(2a) [/mm] - ln [mm] (\bruch{1}{2}a) [/mm] - [mm] \bruch{23}{8})
[/mm]
Habe jetzt [mm] a^{2}*(ln [/mm] 4 - [mm] \bruch{23}{8}) [/mm] heraus, was aber etwas negatives ergibt, daher also irgendwie nicht sein kann :-/
Zur 2:
Muss ich nicht mit dem Radius durch den kompletten Halbkreis durch, anstatt nur durch ein Viertel davon (von 0 bis R)?
Und wofür brauche ich die Determinante?
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Hallo guitarhero,
> Okay also für den Flächeninhalt:
>
> A=
> [mm]\integral_{\bruch{1}{2}a}^{2a}\integral_{\bruch{5}{2}a-x}^{\bruch{a^{2}}{x}}{dy dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{\bruch{1}{2}a}^{2a}(\bruch{a^{2}}{x}-\bruch{5}{2}a+x[/mm]
> dx)
> [mm]=a^{2}*ln[/mm] x - [mm]\bruch{5}{2}ax+\bruch{1}{2}x^{2}[/mm] in Grenzen
> 2a und [mm]\bruch{1}{2}a[/mm]
> [mm]=(a^{2}*(ln(2a)[/mm] - 5 + 2)) - [mm](a^{2}*(ln(\bruch{1}{2}a)[/mm] -
> [mm]\bruch{5}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{8})[/mm]
> [mm]=a^{2}*(ln(2a)[/mm] - ln [mm](\bruch{1}{2}a)[/mm] - [mm]\bruch{23}{8})[/mm]
>
Das richtige Ergebnis llautet:
[mm]a^{2}*(ln(2a) - ln(\bruch{1}{2}a) - \bruch{\red{15}}{8})[/mm]
>
> Habe jetzt [mm]a^{2}*(ln[/mm] 4 - [mm]\bruch{23}{8})[/mm] heraus, was aber
> etwas negatives ergibt, daher also irgendwie nicht sein
> kann :-/
>
Es kommt auch mit der Korrektur etwas Negatives heraus.
Das kommt daher, weil die Integrationsgrenzen des inneren
Integrals vertauscht worden sind.
>
> Zur 2:
> Muss ich nicht mit dem Radius durch den kompletten
> Halbkreis durch, anstatt nur durch ein Viertel davon (von 0
> bis R)?
Ein Kreis hat stets einen positiven Radius.
> Und wofür brauche ich die Determinante?
Damit das richtige herauskommt.
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Das richtige Ergebnis llautet:
>
> [mm]a^{2}*(ln(2a) - ln(\bruch{1}{2}a) - \bruch{\red{15}}{8})[/mm]
Stimmt, da war wohl ein Vorzeichenfehler drin.
> Es kommt auch mit der Korrektur etwas Negatives heraus.
> Das kommt daher, weil die Integrationsgrenzen des
> inneren
> Integrals vertauscht worden sind.
Dabei habe ich beim Aufstellen der Gleichung auch etwas gegrübelt. Ich sehe aber jetzt, dass ich dadurch, dass ich die Grenzen für x aufgestellt habe, zb für x = a finde, dass [mm] \bruch{5}{2}a-x [/mm] > [mm] \bruch{a^{2}}{x}
[/mm]
> > Und wofür brauche ich die Determinante?
>
>
> Damit das richtige herauskommt.
Hehe, okay, da ist in der Beispielaufgabe im Skript nichts mit einer Determinante, aber vorher steht etwas von
"Eine Parameterdarstellung [...] heißt Koordinatentransformation, wenn [...] die Determinante der Jacobi-Matrix [mm] \not= [/mm] 0 ist."
Meinst du das damit oder brauche ich die Determinante zur konkreten Berechnung?
Gruß
guitarhero
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Hallo guitarhero,
> Hallo,
>
> > Das richtige Ergebnis llautet:
> >
> > [mm]a^{2}*(ln(2a) - ln(\bruch{1}{2}a) - \bruch{\red{15}}{8})[/mm]
>
> Stimmt, da war wohl ein Vorzeichenfehler drin.
>
>
> > Es kommt auch mit der Korrektur etwas Negatives heraus.
> > Das kommt daher, weil die Integrationsgrenzen des
> > inneren
> > Integrals vertauscht worden sind.
>
> Dabei habe ich beim Aufstellen der Gleichung auch etwas
> gegrübelt. Ich sehe aber jetzt, dass ich dadurch, dass ich
> die Grenzen für x aufgestellt habe, zb für x = a finde,
> dass [mm]\bruch{5}{2}a-x[/mm] > [mm]\bruch{a^{2}}{x}[/mm]
>
>
>
> > > Und wofür brauche ich die Determinante?
> >
> >
> > Damit das richtige herauskommt.
>
>
> Hehe, okay, da ist in der Beispielaufgabe im Skript nichts
> mit einer Determinante, aber vorher steht etwas von
> "Eine Parameterdarstellung [...] heißt
> Koordinatentransformation, wenn [...] die Determinante der
> Jacobi-Matrix [mm]\not=[/mm] 0 ist."
>
> Meinst du das damit oder brauche ich die Determinante zur
> konkreten Berechnung?
>
Genau das meine ich.
> Gruß
> guitarhero
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
habe jetzt mal beides durchgerechnet.
Komme bei Aufgabe 1 auf einen Flächeninhalt von [mm] \bruch{1}{2}a^{2}
[/mm]
Bei Aufgabe 2 habe ich für den Wert des Integrals [mm] \bruch{5}{2}R^{4} [/mm] heraus.
EDIT:
Das mit der Determinante verstehe ich aber immer noch nicht so ganz.
Im Skript steht, dass für Polarkoordinaten gilt:
[mm] \bruch{\partial(x,y)}{\partial(r,\gamma)} [/mm] := [mm] \pmat{ cos\gamma & -rsin\gamma \\ sin\gamma & rcos\gamma} [/mm] = r
Das verstehe ich so, dass es bei Polarkoordinaten allgemein gültig ist, dass hier die Determinante immer ungleich Null ist, wenn r ungleich Null ist.
Oder muss ich hier eine Aufgabenspezielle Matrix aufstellen?
Verstehe auch noch nicht ganz, ob ich die Bedingungen [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le R^{2} [/mm] und y [mm] \ge [/mm] 0 in die Berechnung integriert habe, indem ich sage 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] R und 0 [mm] \le \gamma \le \pi
[/mm]
Gruß
guitarhero
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Hallo guitarhero,
> Hallo MathePower,
>
> habe jetzt mal beides durchgerechnet.
> Komme bei Aufgabe 1 auf einen Flächeninhalt von
> [mm]\bruch{1}{2}a^{2}[/mm]
>
Das stimmt nicht.
> Bei Aufgabe 2 habe ich für den Wert des Integrals
> [mm]\bruch{5}{2}R^{4}[/mm] heraus.
>
Das stimmt auch nicht.
> EDIT:
> Das mit der Determinante verstehe ich aber immer noch
> nicht so ganz.
> Im Skript steht, dass für Polarkoordinaten gilt:
> [mm]\bruch{\partial(x,y)}{\partial(r,\gamma)}[/mm] := [mm]\pmat{ cos\gamma & -rsin\gamma \\ sin\gamma & rcos\gamma}[/mm]
> = r
> Das verstehe ich so, dass es bei Polarkoordinaten
> allgemein gültig ist, dass hier die Determinante immer
> ungleich Null ist, wenn r ungleich Null ist.
> Oder muss ich hier eine Aufgabenspezielle Matrix
> aufstellen?
> Verstehe auch noch nicht ganz, ob ich die Bedingungen
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2} \le R^{2}[/mm] und y [mm]\ge[/mm] 0 in die Berechnung
> integriert habe, indem ich sage 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] R und 0 [mm]\le \gamma \le \pi[/mm]
>
Das hast Du damit getan.
>
> Gruß
> guitarhero
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
zur ersten Aufgabe (habe noch die Grenzen getauscht)
A = [mm] a^{2} [/mm] * (-ln 2a + ln [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] + [mm] \bruch{15}{8}) [/mm]
= [mm] a^{2} [/mm] * (ln [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{15}{8})
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 0,5 [mm] a^{2}
[/mm]
zur zweiten Aufgabe:
[mm] f(r,\gamma)=15r^{3} cos^{2}\gamma sin\gamma
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] R
0 [mm] \le \gamma \le \pi
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{R} (15r^{3} cos^{2}\gamma sin\gamma) [/mm] dr [mm] d\gamma
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\pi} [\bruch{15}{4}r^{4} cos^{2}\gamma sin\gamma] d\gamma [/mm] in Grenzen 0 bis R
[mm] =\bruch{15}{4}R^{4} [/mm] * [mm] [-\bruch{1}{3} cos^{3}\gamma] [/mm] in Grenzen 0 bis Pi
[mm] =\bruch{15}{4}R^{4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{15}{4}R^{4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{2}R^{4}
[/mm]
Gruß
guitarhero
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Hallo guitarhero,
> Hallo MathePower,
>
> zur ersten Aufgabe (habe noch die Grenzen getauscht)
> A = [mm]a^{2}[/mm] * (-ln 2a + ln [mm]\bruch{1}{2}a[/mm] + [mm]\bruch{15}{8})[/mm]
> = [mm]a^{2}[/mm] * (ln [mm]\bruch{1}{4}[/mm] + [mm]\bruch{15}{8})[/mm]
> [mm]\approx[/mm] 0,5 [mm]a^{2}[/mm]
>
Das stimmt.
>
> zur zweiten Aufgabe:
> [mm]f(r,\gamma)=15r^{3} cos^{2}\gamma sin\gamma[/mm]
>
> 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] R
> 0 [mm]\le \gamma \le \pi[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{R} (15r^{3} cos^{2}\gamma sin\gamma)[/mm]
> dr [mm]d\gamma[/mm]
>
Hier hast Du vergessen, den Integranden noch mit r zu multiplizieren.
> [mm]=\integral_{0}^{\pi} [\bruch{15}{4}r^{4} cos^{2}\gamma sin\gamma] d\gamma[/mm]
> in Grenzen 0 bis R
>
> [mm]=\bruch{15}{4}R^{4}[/mm] * [mm][-\bruch{1}{3} cos^{3}\gamma][/mm] in
> Grenzen 0 bis Pi
>
> [mm]=\bruch{15}{4}R^{4}[/mm] * [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{15}{4}R^{4}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{5}{2}R^{4}[/mm]
>
>
> Gruß
> guitarhero
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
stimmt, das muss ja auch noch rein. Diese Stelle hatte ich gekonnt überlesen und jetzt weiß ich endlich genau, warum du meintest, dass hier die Determinante ungleich Null sein muss.
Habe nun als Ergebnis raus 2 [mm] R^{5}.
[/mm]
Das sollte nun doch hoffentlich (endlich) stimmen.
Ich danke dir für die Hilfe, mir ist vieles klarer geworden 
Gruß
guitarhero
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Hallo guitarhero,
> Hallo MathePower,
>
> stimmt, das muss ja auch noch rein. Diese Stelle hatte ich
> gekonnt überlesen und jetzt weiß ich endlich genau, warum
> du meintest, dass hier die Determinante ungleich Null sein
> muss.
>
> Habe nun als Ergebnis raus 2 [mm]R^{5}.[/mm]
Jetzt stimmt's. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das sollte nun doch hoffentlich (endlich) stimmen.
> Ich danke dir für die Hilfe, mir ist vieles klarer
> geworden
>
> Gruß
> guitarhero
Gruss
MathePower
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