www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integration über Flächen
Integration über Flächen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integration über Flächen: Hilfe gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Do 09.09.2010
Autor: Kleister

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt

Hallo zusammen,

ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe

Es sei M die durch die Flächen
    
     [mm] S_{1} [/mm] = { [mm] (x,y,z)\in \IR^{3} [/mm] : [mm] y=x^{2}+2z^{2} [/mm] }
     [mm] S_{2} [/mm] = { [mm] (x,y,z)\in \IR^{3} [/mm] : x+2y+z=1 }

berandete Teilmenge des [mm] \IR^{3}. [/mm] Berechnen Sie |M|.


Leider fehlt mir zu der Aufgabe jeglicher Ansatz.

Eine Idee von mir wäre es die Menge [mm] S_{1} [/mm] als Funktion f(x,y,z) auszudrücken (also f(x,y,z)= [mm] x^{2}-y+2z^{2}) [/mm]

und dann das Integral

[mm] \integral_{x_{1}}^{x_{2}}\integral_{y_{1}}^{y_{2}}\integral_{z_{1}}^{z_{2}}{x^{2}-y+2z^{2} dxdydz} [/mm]

zu berechnen. Die Integrationsgrenzen würde ich dann anhand der [mm] S_{2} [/mm] bestimmen. Jedoch fehlt mir auch hier eine konkrete Idee.
Eventuell sehen die Grenzen wie folgt aus

0<z<1
0<y<1-z
0<x<1-2y-z

Diese Grenzen sind jedoch rein intuitiv und daher vermutlich falsch.

Über Hinweise und Tipps von euch wäre ich sehr dankbar :)

Liebe Grüße,

Kleister

        
Bezug
Integration über Flächen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Do 09.09.2010
Autor: MathePower

Hallo Kleister,

> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
>  
> Hallo zusammen,
>  
> ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe
>  
> Es sei M die durch die Flächen
>      
> [mm]S_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= { [mm](x,y,z)\in \IR^{3}[/mm] : [mm]y=x^{2}+2z^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

> [mm]S_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= { [mm](x,y,z)\in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

: x+2y+z=1 }

>  
> berandete Teilmenge des [mm]\IR^{3}.[/mm] Berechnen Sie |M|.
>  
>
> Leider fehlt mir zu der Aufgabe jeglicher Ansatz.
>  
> Eine Idee von mir wäre es die Menge [mm]S_{1}[/mm] als Funktion
> f(x,y,z) auszudrücken (also f(x,y,z)= [mm]x^{2}-y+2z^{2})[/mm]
>  
> und dann das Integral
>  
> [mm]\integral_{x_{1}}^{x_{2}}\integral_{y_{1}}^{y_{2}}\integral_{z_{1}}^{z_{2}}{x^{2}-y+2z^{2} dxdydz}[/mm]
>  
> zu berechnen. Die Integrationsgrenzen würde ich dann
> anhand der [mm]S_{2}[/mm] bestimmen. Jedoch fehlt mir auch hier eine
> konkrete Idee.
> Eventuell sehen die Grenzen wie folgt aus
>  
> 0<z<1
>  0<y<1-z
>  0<x<1-2y-z
>  
> Diese Grenzen sind jedoch rein intuitiv und daher
> vermutlich falsch.
>  
> Über Hinweise und Tipps von euch wäre ich sehr dankbar
> :)


Schneide zunächst [mm]S_{1}[/mm] mit [mm]S_{2}[/mm].
Dann erhälst Du eine quadratische Gleichung in x und z.

Jetzt kannst Du [mm]x=x\left(r,\phi\right)[/mm] und [mm]z=z\left(r,\phi\right)[/mm]  parametrisieren.

Dies setzt Du in [mm]S_{1}[/mm] ein und erhältst [mm]y=y\left(r,\phi\right)[/mm]  

Um das durch die Parametertransformation hervorgehende Volumenintegral
zu berechnen, benötigst Du die Determinante von

[mm]\pmat{\bruch{\partial x\left(r,\phi\right)}{\partial r} & \bruch{\partial x\left(r,\phi\right)}{\partial \phi} \\ \bruch{\partial z\left(r,\phi\right)}{\partial r} & \bruch{\partial z\left(r,\phi\right)}{\partial \phi}}[/mm]

Dann ergibt sich das Volumenintegral zu

[mm]\integral_{r=0}^{r_{1}}{ \integral_{\phi=0}^{2 \pi} { \integral_{0}^{y\left(r,\phi\right)} det \ dy}\ d\phi}\ dr}[/mm]

,wobei det die Determinante der vorigen Matrix ist und
[mm]r_{1}[/mm] der maximale Radius der aus Einsetzen der
Parametertransformation in [mm]S_{2}[/mm] hervorgeht.


>  
> Liebe Grüße,
>  
> Kleister
>  


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]