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Hallo!
Ich habe mal eine kurze Frage zur Integration rationaler Funktionen.
Und zwar sind ja rationale Funktionen [mm] \bruch{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}
[/mm]
Wenn nun n>m ist muss man eine Partialbruchzerlegung machen.
Dafür braucht man aber die Nullstellen von [mm] Q_{n}(x).
[/mm]
Wenn Wir nun als Beispiel die Funktion [mm] Q_{2}(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] +1 haben würde das ja bedeuten, dass es nur die Nullstellen [mm] \pm [/mm] i haben.
Sind denn komplexe Nullstellen zugelassen, weil wir ja bei rationalen Funktionen sind?!?
Gruß Mattes
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Sa 22.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mattes!
Ja, es sind auch diese komplexen Nullstellen des Nenners "zugelassen". Beim Zusammenfügen der einzelnen Brüche verschwinden dann jedoch diese komplexen Zahlen und es verbleiben nur reelle Terme.
Um diese jedoch zu umgehen, kann man z.B. für Deinen genannten Nennerterm [mm] $x^2+1$ [/mm] auch folgende ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung ansetzen:
$... \ = \ [mm] \bruch{A*x+B}{x^2+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ok aber wie kommst du auf das Ax+B?
Oder ist das nur eine willkürliche Annahme für den Zähler?!?
Und wie is das jetzt mit dem Nenner, muss ihc den garnicht weiter zerlegen, kann ich den mit dem [mm] x^{2} [/mm] einfach so stehen lassen?
Oder sind deswegen im Zähler direkt 2 (A UND B) Variablen?
Danke und Gruß Mattes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 So 23.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mattes!
> Ok aber wie kommst du auf das Ax+B?
> Oder ist das nur eine willkürliche Annahme für den Zähler?!?
Nein, "willkürlich" ist das nicht ...
Da im Nenner ein quadratischer Ausdruck steht (also mit [mm] $x^{\red{2}}$ [/mm] !), welcher nicht weiter in reelle Faktoren zerlegt werden kann, wird im Zähler ein Polynom mit dem Grad $1 \ = \ [mm] \red{2}-1$ [/mm] mit [mm] $A*x^1+B*x^0 [/mm] \ = \ A*x+B$ angesetzt.
> Und wie is das jetzt mit dem Nenner, muss ihc den garnicht
> weiter zerlegen, kann ich den mit dem [mm]x^{2}[/mm] einfach so
> stehen lassen?
Ja, der Term [mm] $x^2+1$ [/mm] bleibt als solches nun im Nenner erhalten!
> Oder sind deswegen im Zähler direkt 2 (A UND B) Variablen?
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ... siehe oben!
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Find eine Stammfunktion von
[mm] f(x)=\bruch{2x}{(x^{2}+1)^{2}} [/mm] |
Hi!
Also Wenn ich das jetzt versuche hierdrauf anzuwenden, würde das bedeuten, dass ich folgendes mache:
[mm] f(x)=\bruch{Ax+B}{(x^{2}+1)} [/mm] + [mm] \bruch{Cx+D}{(x^{2}+1)}
[/mm]
Allerdings ist mir, wie in einer anderen Aufgabe auch schon, aufgefallen, dass man ein Problem bekommt, sofernman bei 2 Summanden den selber Nenner hat!
Aber wie gehe ich sonst an die Sache ran, oder kann ich das garnicht Partialbruchzerlegen???
Danke und Gruß Mattes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mo 24.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mattes!
Dein genanntes Integral lässt sich leicht mit der Substitution $z \ := \ [mm] x^2+1$ [/mm] lösen, da im Zähler exakt die Ableitung $z' \ = \ 2x$ steht.
Bei mehrfachen Nullstellen allgemein, musst Du auch die PBZ anders ansetzen [mm] ($\rightarrow$[/mm] PBZ mit mehrfachen Nullstellen, unter dem Link findest Du auch etwas über komplexe Nullstellen).
Zum Beispiel: [mm] $\bruch{...}{(x-1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^{\red{2}}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Mo 24.07.2006 | | Autor: | Mattes_01 |
Alles klar, das was du als letzten angeführt hat, das hat mir gefehlt!
Danke und liebe Grüße Mattes
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Hallo!
Ich habe nochmal eine Frage dazu!
Und zwar wollte ich mal fragen, was ich mache, wenn ich sowas habe wie:
[mm] \bruch{x}{1+x^{4}}
[/mm]
Wil da kann ich ja keine Substitution machen.
Und ich habe keine Nullstellen, und PBZ bringt mich auch nur wieder auf die Ausgangsfunktion zurück.....
Gehe ich dann hin und erweitere mit einer konstruktiven Null (fiel mir grade so ein, bin mir aber unsicher) oder wie mache ich das?
Liebe Grüße Mattes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Fr 28.07.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo Mattes,
ich habe das Integral durch Substitution und das Wissen, dass [mm] (arctanx)'=1/(1+x^2) [/mm] ist gelöst.
Und zwar habe ich [mm] x^2=y [/mm] substituiert, dann folgt dy/dx= 2x, also dx=dy/2x. Nach Kürzen erhalte ich also:
[mm] \bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{1+y^2} [/mm] dy = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] arctan(y) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] arctan [mm] (x^2)
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir damit helfen.
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Fr 28.07.2006 | | Autor: | Mattes_01 |
Ja klar da habe ich garnicht dran gedacht^^
Danke dir!
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War mal wieder etwas zu voreilig, habe da nämlich noch eine Frage:
Und zwar was ist wenn ich folgenden Term habe:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x-1}{(x+1)(x^{2}+1)} dx}
[/mm]
Also erste Idee, Partialbruchzerlegung, das bringt mich aber auf folgedes:
[mm] \bruch{x-1}{(x+1)(x^{2}+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{Bx+C}{x^{2}+1}
[/mm]
Daraus folgt dann, dass A=B=0 und C=1, also dass [mm] \bruch{x-1}{(x+1)(x^{2}+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] sein soll und das finde ich ein wenig komisch.....
Die zweite Idee, die mir dan kam, war dass ich ja den Nenner auch erweitern kann:
[mm] \bruch{x-1}{(x+1)(x^{2}+1)} [/mm] = [mm] \bruch{x-1+1-1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\bruch{x+1}{(x+1)(x^{2}+1)} [/mm] + [mm] \bruch{-2}{(x+1)(x^{2}+1)}
[/mm]
da wüsste ich dann von [mm] \bruch{1}{(x^{2}+1)} [/mm] die Stammfunktion, arctanx
aber was ist mit dem 2. Teil, also [mm] \bruch{-2}{(x+1)(x^{2}+1)}
[/mm]
Da haben wir ja ein [mm] x^{3} [/mm] im Nenner, damit komme ich dann auch nicht weiter...
Danke schonmal für die fixe Hilfe!
Gruß Mattes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Sa 29.07.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo Mattes!
Ich glaube du könntest dich verrechnet haben. Der Ansatz für Partialbruchzerlegung stimmt. Ich komme dann auf folgende Gleichung:
x-1 = A(x²+1)+ (Bx+C)(x+1)
Nun setze ich konkret für x=0, -1 und 1 ein und erhalte:
A = -1
B = 1
C = 0
Was ja schon von deinem Ergebnis abweicht. Allerdings geht bei dieser Wahl für A, B und C auch die Probe auf.
Durch Einsetzten erhält man dann die Summe von zwei ln() Termen, die man zu einem zusammenfassen kann. Ich denke das müsste stimmen.
Noch frohes Schaffen!
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Sa 29.07.2006 | | Autor: | Mattes_01 |
OK^^
ein kleiner dummer fehler also!
Danke und Gruß
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